Cтраница 4
Как следствие этой теоремы укажем, что все минимальные поверхности, а также все поверхности положительной кривизны, накладывающиеся на аналитическую поверхность ( например, на эллипсоид), ана-литичны. [46]
Из теоремы Ковалевской следуют существование и единственность решения задачи Коши в классе аналитических функций, если аналитические условия Коши задаются на аналитической поверхности S, нигде не имеющей характеристического направления. Из построений, приведенных в § § 2 и 3, следует, что если все функции, входящие в данные уравнения и в начальные условия, принимают действительные значения при действительных значениях аргументов, то и решения задачи Коши действительны. Возникает вопрос: нет ли в этом случае других решений задачи Коши, кроме аналитического решения Ковалевской. [47]
Анализ причин неинтегрируемости гамильтоновых систем начнем с обсуждения обнаруженных сравнительно недавно грубых препятствий топологического характера, В работе [81] доказано, что замкнутая аналитическая поверхность рода х, х 2 не может быть конфигурационным пространством аналитической интегрируемой системы; причиной является наличие большого числа неустойчивых периодических траекторий, на которых первые интегралы зависимы. Этот результат ( не замеченный классиками из-за пристрастия к локальному рассмотрению динамических систем) обобщен в различных направлениях. [48]
Асимптотические направления не будут действительными в окрестности эллиптической точки; следовательно, через такую точку не проходят действительные асимптотические линии; тем не менее на аналитической поверхности можно всегда определить асимптотические линии, действительные или мнимые. [49]
Представляется весьма вероятным, что полученные здесь результаты окажутся типичными во многих отношениях для общего случая транзитивной проблемы; эти результаты легко обобщить па случай любой замкнутой аналитической поверхности отрицательной кривизны. [50]
Если все функции и удовлетворяющие некоторой однородной линейной эллиптической системе с п независимыми переменными и аналитическими коэффициентами, одновременно обращаются в нуль на некоторой ( п - 1) - мерной аналитической поверхности вместе со всеми их производными по ( ni - 1) - го порядка, то они тождественно равны нулю во всей той области, где они удовлетворяют - рассматриваемой системе. [51]