Cтраница 1
Любая заданная подгруппа Бореля В действует путем левых умножений на полном многообразии G / S. По теореме (21.2) она имеет неподвижную точку xSt т.е. BxS xS или х - 1Вх a S. Каждая из этих подгрупп является подгруппой Бореля, и мы заключаем, что х - 1Вх S. Отсюда вытекает утверждение теоремы. [1]
Подгруппой Бореля группы G мы называем максимальную среди связных разрешимых подгрупп. Простые соображения о размерности связных подгрупп позволяют сделать вывод, что подгруппы Бореля существуют. [2]
Поскольку подгруппы Бореля групп G и G совпадают, то мы в дальнейшем будем предполагать, что группа G связна. Связная разрешимая подгруппа наибольшей возможной размерности является, очевидно, подгруппой Бореля; однако не очевидно, что размерности всех подгрупп Бореля совпадают. [3]
Роль подгруппы Бореля в случае произвольного поля k играет минимальная параболич. G, содержащая подгруппу Бореля. Если группа G обладает / с-разложимым максимальным тором, то эти структурные элементы не зависят от поля k и определяют такие группы с точностью до й-изомор-физма. [4]
Тогда существует подгруппа Бореля В, содержащая Я, нормализатор N которой содержит а, и такая, что а е В, только если а е В. [5]
Если В - подгруппа Бореля и Н - произвольная замкнутая подгруппа группы G, то трудно ожидать, чтобы пересечение В П Н было борелевской подгруппой группы Н или даже связной подгруппой. [6]
Пусть В - подгруппа Бореля группы G, Т - максимальный тор группы G и C CG ( T) - подгруппа Картана. [7]
Пусть В - подгруппа Бореля группы G и Т - максимальный тор. [8]
Если группа Р содержит подгруппу Бореля В, то G / B - G / P - сюръективный морфизм полного многообразия, так что G / P - также полное многообразие. Обратно, по теореме 10.4 подгруппа Бореля В в полном многообразии G / P имеет неподвижную точку, откуда следует, что Р содержит некоторую сопряженную с В подгруппу. [9]
Я соответствуют взаимно однозначно множеству подгрупп Бореля, содержащих Я. [10]
U содержится, в некоторой подгруппе Бореля В. [11]
Включим связную разрешимую группу В0 в подгруппу Бореля В группы G. Тогда BQd ( Hf ] B) Qy причем последняя является связной разрешимой подгруппой группы Я. Аналогично можно доказать соответствующие утверждения для торов и связных унипотентных подгрупп. [12]
Максимальная разрешимая подгруппа не обязана быть подгруппой Бореля. [13]
По теореме Ли - Колчина В - подгруппа Бореля группы G. Какие параболические подгруппы группы G содержит В. G есть, очевидно, замкнутая подгруппа, содержащая группу В. [14]
Если ядро морфизма а содержится в каждой подгруппе Бореля группы G, то отображения ( 1) и ( 2) биективны. [15]