Cтраница 3
Пусть 2 - система корней группы G, хаХа ( 0 - - ее корневые подгруппы, Н Яа / 1а ( /) - подгруппа Картана, 1 / ха а - положительный корень) и B HU - подгруппа Бореля. [31]
Xs инвариантно относительно нее; следовательно, связные компоненты многообразия Xs инвариантны относительно группы Gs. Соответствующая подгруппа Бореля содержит группу G5, так что группа Gs разрешима. [32]
Тогда каждая подгруппа Бореля сопряжена в G с группой В и G / B - проективное многообразие. [33]
При помощи подгрупп Бореля, содержащих Г, строятся нек-рые мономорфизмы а-ддитивной группы поля в подгруппы Бореля ( содержащие Т), играющие роль корней. Окончательная классификация полупростых групп не зависит от характеристики основного поля и поэтому совпадает с классификацией комплексных полупростых алгебраич. [34]
Роль подгруппы Бореля в случае произвольного поля k играет минимальная параболич. G, содержащая подгруппу Бореля. Если группа G обладает / с-разложимым максимальным тором, то эти структурные элементы не зависят от поля k и определяют такие группы с точностью до й-изомор-физма. [35]
Если Р g Sylp ( X), то BNX ( P) называется подгруппой Бореля в X. По теореме Си-лова все подгруппы Бореля в X сопряжены. [36]
Если группа Р содержит подгруппу Бореля В, то G / B - G / P - сюръективный морфизм полного многообразия, так что G / P - также полное многообразие. Обратно, по теореме 10.4 подгруппа Бореля В в полном многообразии G / P имеет неподвижную точку, откуда следует, что Р содержит некоторую сопряженную с В подгруппу. [37]
Пусть Т - максимальный тор группы G и U - максимальная связная унипотентная подгруппа. Аналогично U лежит в некоторой подгруппе Бореля В, причем U Ви ввиду максимальности. Так как все подгруппы Бореля группы G сопряжены, то следствие доказано. [38]
Кроме того, согласно теореме 10.6, группа ZB ( S) связна, откуда следует, что a Zo ( S), что составляет второе из доказываемых утверждений. По теореме 11.10 g содержится в некоторой подгруппе Бореля В группы G. [39]
Пусть теперь элемент X нильпотентен. Согласно предложению 14.16, он принадлежит алгебре Ли подгруппы Бореля группы Я, что сводит дело к случаю, когда группа Н связна и разрешима. [40]
Тогда группа C CG ( S) обладает нетривиальным радикалом и, таким образом, С - собственная подгруппа группы G. Согласно (22.4), В В П С - подгруппа Бореля группы С. [41]
Замкнутая подгруппа группы G является параболической тогда и только тогда, когда она содержит подгруппу Бореля. В частности, связная подгруппа Н группы G является подгруппой Бореля тогда и только тогда, когда группа Н разрешима и многообразие G / H полно. [42]
Тогда G / B - проективное многообразие, и все подгруппы Бореля группы G сопряжены В. [43]
Поскольку подгруппы Бореля групп G и G совпадают, то мы в дальнейшем будем предполагать, что группа G связна. Связная разрешимая подгруппа наибольшей возможной размерности является, очевидно, подгруппой Бореля; однако не очевидно, что размерности всех подгрупп Бореля совпадают. [44]
Подгруппой Бореля группы G мы называем максимальную среди связных разрешимых подгрупп. Простые соображения о размерности связных подгрупп позволяют сделать вывод, что подгруппы Бореля существуют. [45]