Cтраница 4
Пусть a: G - G - сюръективный морфизм алгебраических групп, В - подгруппа Бореля группы G, и В Т BUJ где Т - максимальный тор. Тогда а ( В) а ( Г) а ( Ви) - подгруппа Бореля группы G и каждая подгруппа Бореля группы Gf получается таким образом. [46]
При помощи подгрупп Бореля, содержащих Г, строятся нек-рые мономорфизмы а-ддитивной группы поля в подгруппы Бореля ( содержащие Т), играющие роль корней. Окончательная классификация полупростых групп не зависит от характеристики основного поля и поэтому совпадает с классификацией комплексных полупростых алгебраич. [47]
Титсом [3] доказано существование аналога разложения Брюа для группы 6 fc, в к-ром роль подгрупп Бореля играют минимальные параболич. [48]
Сквозное отображение G - G - G / a ( B) индуцирует сюръективный морфизм G / B - G / a ( B), так что многообразие G / a ( B) полно, и, следовательно, а ( В) - параболическая подгруппа. Но группа а ( В) связна и разрешима; следовательно, она сама является подгруппой Бореля. Разложение в полупрямое произведение а ( В) а ( Г) а ( Ви) и тот факт, что a ( Bu) a ( B) UJ следуют из сохранения разложений Жордана при морфизмах. Из теоремы сопряженности вытекает, что все подгруппы Бореля, все максимальные торы и все минимальные связные унйпотентные подгруппы группы G получаются таким путем. [49]
Многообразие У полно, и, в соответствии с теоремой, является орбитой точки у относительно С. ЗБ: группа С [ В разрешима и связна (19.4) и, таким образом, должна быть подгруппой Бореля группы С. [50]