Cтраница 2
Преобразование ( 3) переводит каждую подгруппу Gx группы О в сопряженную подгруппу GJ a - 1G a. Подгруппа Gt отображается сама на ( ебя ( GJ GX) для любого элемента а из G в том и только в том случае, если 1) элементы al подгруппы Gl перестановочны с любым элементом а группы G ( aG1 Gja) или 2) подгруппа Gj содержит все элементы, сопряженные с ее элементами. [16]
Арифметические подгруппы конечно определены и конечные подгруппы в них составляют конечное множество сопряженных подгрупп. [17]
Если же она совпадает со своим нормализатором и взаимно проста со своими сопряженными подгруппами, то группа G является группой Фробениуса и М - ее дополнительный множитель. Поэтому в дальнейшем будем считать, что рассматриваемая изолированная подгруппа совпадает со своим нормализатором и имеет неединичное пересечение хотя бы с одной сопряженной подгруппой. При доказательстве теоремы мы будем часто использовать следующее замечание. [18]
Пестрота, вызываемая особым поведением групп Z) n, исчезает, если ищутся классы внешне сопряженных подгрупп. Именно, каждому самоконтра-гредиентному весу и каждой паре взаимно контрагредиентных весов отвечает в точности по одному классу внешне сопряженных подгрупп в классических группах. [19]
Дополнительный множитель группы Фробениуса - подгруппа, совпадающая со своим нормализатором и взаимно простая с сопряженными подгруппами. [20]
Значит, силовская 2-подгруппа Т группы М имеет нетривиальное пересечение хотя бы с одной из своих сопряженных подгрупп. Поэтому NM ( D2) / D2 - группа Фробениуса, силовская 2-подгруппа которой является дополнительным множителем. [21]
А ( 8) Ц) А0 ( 8), в сущности эквивалентна нахождению классов внутренне сопряженных подгрупп. [22]
Таким образом, подгруппа NM ( P) совпадает со своим нормализатором и взаимно проста с ней сопряженными подгруппами. [23]
Легко понять, что здесь же содержатся известные теоретико-групповые факты о порядках классов сопряженных элементов в группах и классов сопряженных подгрупп. [24]
Отсюда нетрудно получить, что подгруппа М плотна ( не содержит собственных изолированных подгрупп и поэтому взаимно проста с сопряженными подгруппами, что противоречит нашему предположению. [25]
По всей видимости, хотя это и не доказано, это представление определяет подгруппу Г с точностью до перехода к сопряженной подгруппе. Здесь будет получен несколько более слабый результат. [26]
Подгруппы второго типа внешних автоморфизмов не имеют и поэтому их самоконтрагредиентному весу степени 2п в группе Dn отвечают в точности два класса сопряженных подгрупп. Что касается подгрупп первого типа, то здесь такому весу могут отвечать иногда один ( для четных п), иногда два ( для нечетных п) класса сопряженных подгрупп. [27]
Это позволяет вести доказательство индукцией по рангу R и считать, что конечные подгруппы из G / Z распадаются в конечное число классов сопряженных подгрупп. Но если конечные подгруппы А и Б группы G сравнимы mod Z, то они совпадают. [28]
Из нее, в частности, вытекает, что во всякой разрешимой группе типа А максимальные периодические подгруппы распадаются в конечное число классов сопряженных подгрупп. [29]
Таким образом, для любой точки, полученной из данной точки х сдвигом на элемент группы G, стационарная подгруппа сопряжена со стационарной подгруппой Gx, и этим способом можно получить любую сопряженную подгруппу. [30]