Cтраница 3
Группы равных порядков называются изоордными. Классы сопряженных подгрупп называются посто классами подгрупп. [31]
Это значит, что М пересекается с сопряженными подгруппами по холловским подгруппам; в частности, если пересечение D М П - MXl П П х Мхп нетривиально, то D - холловская подгруппа. [32]
В этом случае подгруппа NM ( Р) нильпотентна. Покажем, что она взаимно проста с сопряженными подгруппами. [33]
Подгруппы Н и G HGi ] называются сопряженными; каждый элемент одной из них сопряжен одному из элементов другой. Давая GJ различные значения, мы получим ряд сопряженных подгрупп, которые могут оказаться частично совпадающими друг с другом. В таком случае Н называют нормальным делителем ( или инвариантной подгруппой группы G. Так, например, всякая подгруппа абелевой группы является, очевидно, ее нормальным делителем. [34]
Подгруппы Н и GiHG 1 называются сопряженными; каждый элемент одной из них сопряжен одному из элементов другой. Давая G различные значения, мы получим ряд сопряженных подгрупп, которые могут оказаться частично совпадающими друг с другом. В таком случае Н называют нормальным делителем ( или инвариантной подгруппой ] группы G. Так, например, всякая подгруппа абелевой группы является, очевидно, ее нормальным делителем. [35]
Подгруппы Н и GiHG 1 называются сопряженными; каждый элемент одной из них сопряжен одному из элементов другой. Давая GI различные значения, мы получим ряд сопряженных подгрупп, которые могут оказаться частично совпадающими друг с другом. В таком случае Н называют нормальным делителем ( или инвариантной подгруппой ] группы G. Так, например, всякая подгруппа абелевой группы является, очевидно, ее нормальным делителем. [36]
Предположим, что подгруппа NM ( Р) не инвариантна в NG ( Р) Пусть KIR - минимальная изолированная подгруппа в NM ( P) / Rj гДе R - наибольший изолированный нормальный делитель подгруппы NG ( Р), содержащийся в NM ( P) Подгруппа KIR совпадает со своим нормализатором, так как в противном случае подгруппа К оказалась бы нильпотентной и, в силу ее непримарности, плотной, что противоречит существованию в ней собственной изолированной подгруппы R. Так как подгруппа KIR взаимно проста с ней сопряженными подгруппами, то факторгруппа NG ( P) IR является группой Фробениуса. Обозначим ее инвариантный множитель через LIR. Так как подгруппа L инвариантна в NG ( Р), то она нильпотентна. [37]
Если М взаимно проста с сопряженными подгруппами, то, очевидно, G - группа первого типа. Если же подгруппа М не взаимно проста с сопряженными подгруппами, то по теореме 1 § 12 М является группой Фробениуса и ее инвариантный множитель имеет четный порядок. [38]
Дело в том, что для любого конечного графа конечных групп существует гомоморфизм в конечную группу, инъективный на группах вершин. Это означает, что ядро такого гомоморфизма не может пересекаться с сопряженными подгруппами к группам вершин и, согласно теореме 2.2.23, должно быть свободной группой, что и заканчивает доказательство. [39]
Если подгруппы порядков р а q - нормальные делители, то они коммутируют, и группа циклична. Если подгруппа порядка q не ивляется нормальным делителем, то имеется р сопряженных подгрупп порядка q н столь много элементов порядка д, что подгруппа порядка р-единственная и потому нормальный делитель. [40]
Если подгруппы порядков р и q - нормальные делители, то они коммутируют, и группа циклична. Если подгруппа порядка q не является нормальным делителем, то имеется р сопряженных подгрупп порядка q столь много элементов порядка q, что подгруппа порядка р - единственная и потому нормальный делитель. [41]
F - расширение Галуа, то выбор различных неприводимых делителей приводит к сопряженным подгруппам группы G. [42]
По существу эта теорема дает способ для вычисления трехчленных простых групп. Действительно, она показывает, что каждый перпендикуляр / определяет самое большее один класс сопряженных подгрупп. Однако здесь возможны упрощения. [43]
Следовательно, каждый смежный класс М по N ( Т) содержит точно s - 1 инволюцию. Но тогда подгруппа N ( Т) имеет неединичное пересечение с любой из своих сопряженных подгрупп, в точности совпадающее с некоторым дополнительным множителем. Так как дополнительный множитель группы N ( Т) имеет индекс 2 в своем нормализаторе в группе ЛГ, то М - Zr-группа. [44]
Пусть G - группа, изоморфная jii ( M), а Г - нильпотентная подгруппа группы G конечного индекса. Можно предположить, что подгруппа Г нормальна ( в противном случае пересечение Г со всеми сопряженными подгруппами является нормальной. По теореме Мальцева ( теорема 6 из [10]) подгруппу Г можно вложить как равномерную дискретную подгруппу в односвязную нильпотентную группу Ли N. [45]