Cтраница 3
Любое конечное множество элементов группы Q порождает циклическую подгруппу. [31]
Они образуют, очевидно, подгруппу - циклическую подгруппу, порожденную элементом а. При этом возможны два случая: либо все эти степени элемента а различны, либо среди них имеются одинаковые. Последнее наверняка будет, например, в любой конечной группе. В этом случае элемент а называется элементом k - го порядка. Если все степени элемента а различны, то он называется элементом бесконечного порядка. Таким будет, например, любой отличный от 0 эдеме т аддитивной группы целых чисел. [32]
Это означает, что группа G содержит циклическую подгруппу Zb, состоящую из pq элементов. [33]
Заметим, что если а не принадлежит циклической подгруппе G, то величина / ( а) может принимать совершенно произвольные значения. [34]
Так как порядок элемента совпадает с порядком его циклической подгруппы, то из теоремы Лагранжа следует, что порядок всякого элемента конечной группы является делителем порядка группы. [35]
Всякая конечная р-примарная группа разлагается в прямую сумму примарных циклических подгрупп. [36]
Всякая конечная абелева группа А является прямым произведением примарных циклических подгрупп. Любые два таких разложения имеют по одинаковому числу множителей каждого порядка. [37]
Каждый элемент g группы G порождает в ней циклическую подгруппу g, состоящую из всех степеней этого элемента. Порядок подгруппы § называется порядком элемента g в группе G. Ввиду теоремы Лагранжа порядок каждого элемента конечной группы является делителем порядка группы. [38]
Каждый элемент g группы G порождает в ней циклическую подгруппу g, состоящую из всех степеней этого элемента. Порядок подгруппы g совпадает с порядком элемента g в группе G. Ввиду теоремы Лагранжа порядок каждого элемента конечной группы является делителем порядка группы. [39]
Изолированная подгруппа - подгруппа, содержащая целиком всякую циклическую подгруппу, с которой она имеет неединичное пересечение. [40]
Подгруппа, порождаемая одним преобразованием А, называется циклической подгруппой. [41]
Такими группами, например, являются р-группы с циклической подгруппой индекса р, за исключением нециклических групп порядка р и групп диэдра; прямое произведение циклической группы порядка р и р-группы периода меньшего, чем р; 2-группы вида А Ъ, где Ь) 2 2 и аь - а - для всех аеЛ; прямое произведение любой р-группы, указанной выше и имеющей порядок, больший р, и элементарной абелевой р-группы. [42]
Конечные подгруппы групп классов преобразований, в частности, конечные циклические подгруппы для поверхности 5 весьма хорошо изучены. [43]
Неоднозначность разложения конечных абелевых силовских р-групп в прямое произведение циклических подгрупп примарных порядков существенно ограничивается следующей теоремой. [44]
Доказать, что конечная циклическая группа является прямой суммой примарных циклических подгрупп. [45]