Cтраница 4
Каждый элемент а любой группы С порождает в С циклическую подгруппу, состоящую из всех его степеней. Порядок этой подгруппы называется порядком элемента а; если он конечен, то он равен такому наименьшему натуральному числу т, что ат - Е; в противном же случае а называется элементом бесконечного порядка. [46]
Пусть любые два неединичных элемента конечной группы G порождают циклическую подгруппу. [47]
Каждый элемент а любой группы G порождает в G циклическую подгруппу, состоящую из всех его степеней. Порядок этой подгруппы называется порядком элемента а -, если он конечен, то он равен такому наименьшему натуральному числу т, что ат Е: в противном же случае и называется элементом бесконечного порядка. [48]
Степени Av образуют некоторую группу, а именно, циклическую подгруппу группы всех невырожденных А над полем GF ( p) ( разд. Поэтому существует m такое, что АтЕ, и поэтому вследствие Amzz z - циклическое состояние, что и требовалось доказать. [49]
Пусть Е - некоторая группа, и F - ее циклическая подгруппа, содержащая п элементов. Если группа F - моногенная подгруппа с бесконечным числом элементов, то она изоморфна аддитивной группе целых чисел. [50]