Cтраница 3
Фактор Н / К группы А назовем главным, если подгруппа К нормальна в Л и Н / К - минимальная нормальная подгруппа группы А / К. К нормальную подгруппу группы А, максимальную среди не содержащих х ( такая существует в силу леммы Цорна), и затем в качестве Я - нормальное замыкание gp (, К) в группе А. Фактор Н / К называется композиционным фактором группы А, если К - максимальная нормальная подгруппа субнормальной ( субинвариантной - см. Маршалл Холл, стр. [31]
Переводя на язык дифференциальных уравнений наши предыдущие результаты об алгебраических уравнениях, мы получаем, что справедлив следующий результат о нормальных подгруппах групп симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений. [32]
Доказать, что любая нормальная подгруппа из G, содержащаяся в Soc ( G), является прямым произведением некоторого множества минимальных нормальных подгрупп группы С. [33]
Цель этой главы состоит в том, чтобы дать более подробное описание группы G: мы рассмотрим свойства системы корней, строение нормальных подгрупп группы G, нормальную форму элементов группы G, строение параболических подгрупп. [34]
Если G действует на М G / H неэффективно, то можно положить GJ С / Яшах, Н1 Я / Яшах, где Яшах - наибольшая содержащаяся в Я нормальная подгруппа группы G. Тогда G / ff диффеоморфно G / Я М, причем группа GI действует на М эффективно ( проверьте. [35]
Фактор Н / К группы А назовем главным, если подгруппа К нормальна в Л и Н / К - минимальная нормальная подгруппа группы А / К. К нормальную подгруппу группы А, максимальную среди не содержащих х ( такая существует в силу леммы Цорна), и затем в качестве Я - нормальное замыкание gp (, К) в группе А. Фактор Н / К называется композиционным фактором группы А, если К - максимальная нормальная подгруппа субнормальной ( субинвариантной - см. Маршалл Холл, стр. [36]
Прогресс в этой области теснейшим образом связан с развитием алгебраич. А именно, всякая нескалярная нормальная подгруппа группы SL ( r, %), и2, имеет конечный индекс н является конгруэнц-подгруппой, в то время как группа SL ( 2, - % ] есть конечное расширение свободной группы и потому обладает разнообразными нормальными подгруппами бесконечного индекса. [37]
Пусть теперь dimt / l, и предположим, что для групп, размерность унипотентного радикала которых меньше, чем dim U, утверждение теоремы справедливо. Пусть C / i - алгебраическая нормальная подгруппа группы G, удовлетворяющая условиям задачи 22, и р: G - G / Ui - канонический гомоморфизм. [38]
Из ( а) следует, что отображение произведения я: G / ( i X X Gi ( f) - G есть морфизм алгебраических групп. Gi ( r) - замкнутая связная нормальная подгруппа группы G; она также полупроста. Из ( а) следует также, что любая другая группа d ( 1ф1) централизует эту группу, так что пересечение d П GKD G ( o - конечная группа. [39]
На самом деле k можно взять равной нулю, если Q абелева, и единице во всех других случаях. Однопараметрическая подгруппа Н, порожденная полем v, является тогда нормальной подгруппой группы G с однопара-метрической факторгруппой G / H. Чтобы понизить порядок уравнения Д, мы начинаем с определения дифференциальных инвариантов первого порядка y - t ( x, и), w t ( x, и, их) группы Н, пользуясь развитыми ранее методами. Кроме того, раз мы знаем решение w h ( y) этого последнего уравнения, мы можем восстановить решение уравнения Д, решая соответствующее уравнение первого порядка (2.94) с помощью единственной квадратуры. Поскольку Я - нормальная подгруппа, приведенное уравнение Д инвариантно относительно действия факторгруппы G / H на переменные ( у, w) и, следовательно, мы можем применить развитые ранее для однопараметрических групп симметрии методы, чтобы понизить порядок еще на единицу. [40]
Фактор-группу Н / Н0 называют обычно секцией группы G, a нормальную подгруппу W группы С со свойством G - - NH и Nf ] H H0 - нормальным дополнением секции Я / Я0 в С. [41]
Носитель любого идемпотента порождает конечную подгруппу группы G в том и только том случае, когда или все конечно порожденные подгруппы группы G конечны, или все идемпотенты кольца RG центральны. Если е - центральный идемпотснт кольца tG, где Ф - поле, то Supp е - конечная нормальная подгруппа группы. [42]
Прежде чем перейти к описанию тощих жестких точек шкал ( СТп), опишем полностью тощие точки шкал ( СТп) при малых п 2, 3, 4 с учетом изложенного выше и в силу того, что случаи п 2, 4 отличаются ( по числу нормальных подгрупп группы Sym п) от всех других случаев. [43]
Пусть, следовательно, группа С является расширением финитно аппроксимируемой полнциклаческой группы А при помощи циклической группы B - gp ( b), и пусть с 1 - элемент из С. А, то в С / А, очевидно, существует нормальная подгруппа, не содержащая сА и имеющая в С / А конечный индекс. Соответствующая нормальная подгруппа группы С, содержащая А, не включает с и имеет в С конечный индекс. Далее рассмотрим случай с е А. По предположению существует нормальная подгруппа N группы А, не включающая с и имеющая конечный индекс в Л; следовательно, существует такое целое т, что вербальная подгруппа хт ( А) лежит в N. Так как А полициклична, эта подгруппа имеет конечный индекс в Л и нормальна в С. [44]
Рассуждение в ( б) показывает, что каждая группа Gt ( / е /) либо содержится в Я, либо централизует Я. Отсюда вытекает, что минимальные замкнутые связные нормальные подгруппы группы Я совпадают с некоторыми из групп Gt, и тогда ( как в ( б)) мы заключаем, что группа Я - их произведение. [45]