Cтраница 4
Предположим, что М задано в виде пространства смежных классов G / Я. Заданное транзитивное G-действие ( определенное с помощью левых сдвигов) называется примитивным, если ограничение этого действия на любую собственную нормальную подгруппу группы G не транзитивно. Очевидно, что классификация транзитивных действий на заданном компактном однородном пространстве М легко сводится к классификации примитивных транзитивных действий. [46]
Обозначив через Н множество всех таких элементов х из G, что Ф ( х) К1г для некоторого А, е С, нетрудно заметить, что / / - нормальная подгруппа группы G. Без труда проверяется, что эта группа коммутативна. Допустим, что все характеристические корни линейного преобразования Ф ( g) совпадают. [47]
Пусть, следовательно, группа С является расширением финитно аппроксимируемой полнциклаческой группы А при помощи циклической группы B - gp ( b), и пусть с 1 - элемент из С. А, то в С / А, очевидно, существует нормальная подгруппа, не содержащая сА и имеющая в С / А конечный индекс. Соответствующая нормальная подгруппа группы С, содержащая А, не включает с и имеет в С конечный индекс. Далее рассмотрим случай с е А. По предположению существует нормальная подгруппа N группы А, не включающая с и имеющая конечный индекс в Л; следовательно, существует такое целое т, что вербальная подгруппа хт ( А) лежит в N. Так как А полициклична, эта подгруппа имеет конечный индекс в Л и нормальна в С. [48]
Для любого рационального линейного представления р группы G группа р ( Т) является диагонализируемой. Ее собственные значения, являющиеся элементами группы X ( Т), наз. Ненулевые веса присоединенного представления Ad наз. Оказывается, что система сХ ( Т) всех корней группы G является приведенной корневой системой в пространстве Е, причем неприводимые компоненты системы S - это системы корней простых замкнутых нормальных подгрупп группы G, Далее, Q ( 2) X ( T) P ( S), где. [49]