Cтраница 3
Теорема 9.3. Представление р Нот ( Г, G) устойчиво, если и только если образ р ( Г) не содержится ни в какой собственной комплексной параболической подгруппе группы О. [31]
G имеется ровно 2т - г ( параболических) подгрупп, содержащих GJT - Как и в ситуации групп типа Ли, подгруппы Gjr с 1 1 1 называются минимальными параболическими подгруппами. [32]
Здесь мы аргументируем позицию, согласно которой источником инвариантных связей, лагранжианов и динамических уравнений теории с супергруппой симметрии & может служить геометрия компактных комплексных супермногообразий GL / Р ( р - параболическая подгруппа), систем суперклеток Шуберта на них и условий интегрируемости вдоль этих систем. [33]
Цель этой главы состоит в том, чтобы дать более подробное описание группы G: мы рассмотрим свойства системы корней, строение нормальных подгрупп группы G, нормальную форму элементов группы G, строение параболических подгрупп. [34]
Сквозное отображение G - G - G / a ( B) индуцирует сюръективный морфизм G / B - G / a ( B), так что многообразие G / a ( B) полно, и, следовательно, а ( В) - параболическая подгруппа. Но группа а ( В) связна и разрешима; следовательно, она сама является подгруппой Бореля. Разложение в полупрямое произведение а ( В) а ( Г) а ( Ви) и тот факт, что a ( Bu) a ( B) UJ следуют из сохранения разложений Жордана при морфизмах. Из теоремы сопряженности вытекает, что все подгруппы Бореля, все максимальные торы и все минимальные связные унйпотентные подгруппы группы G получаются таким путем. [35]
Вопрос здесь никак нельзя считать исчерпанным, поскольку Голдшмидт, а затем Эндрю Чермак, Найлз и Бернд Штельмахер активно занялись обобщением работы Симса с целью построения геометрической теории порождения группы в терминах 2-локальных подгрупп, содержащих общую силовскую 2-подгруппу - теорию, которую можно рассматривать как несколько более примитивную форму порождения ( В, А) - пары ее параболическими подгруппами. [36]
По теореме Ли - Колчина В - подгруппа Бореля группы G. Какие параболические подгруппы группы G содержит В. G есть, очевидно, замкнутая подгруппа, содержащая группу В. [37]
Подгруппу Р - MAN называют минимальной параболической подгруппой в G, а отличную от G подгруппу, содержащую Р, - параболической подгруппой. [38]
Доказательство теоремы почти прямое. Если J7 и J7 г, то имеется ровно 2т - г параболических подгрупп, содержащих GJT. Учитывая действие G на Д, мы сразу получаем отсюда, что Д является комплексом. Таким образом, gB g G - множество максимальных элементов из Д, причем любой элемент из Д содержится в некотором максимальном. Аналогично элементы коразмерности 1 в Д совпадают в точности с минимальными параболическими подгруппами, содержащими В, и их G-образами. Применяя основные свойства групп Кокстера к группам Вейля W группы G, можно показать далее, что Д является на самом деле камерным комплексом, а 2-тонким камерным комплексом. [39]
Этот факт очевиден, если группа G содержит лишь конечное число классов сопряженности параболических подгрупп. [40]
В частности, оказалось, что в этой теории основную роль играют так называемые параболические подгруппы. Параболическая подгруппа Р комплексной полупростой группы G может быть определена как связная комплексная подгруппа, обладающая одним из двух эквивалентных свойств: 1) фактор-пространство G / P компактно, 2) Р содержит максимальную разрешимую подгруппу в G. В монографии [18] были вычислены характеры элементарных представлений и получена формула Планшереля для комплексных классических групп. [41]
Заметим, что X содержит ровно две нетривиальные собственные ( следовательно, максимальные) параболические подгруппы 7i, FJ содержащие S. Если первое заключение теоремы места не имеет, то прообраз в X ровно одной из этих параболических подгрупп будет удовлетворять наложенному на Р условию. [42]
Подгруппу Р - MAN называют минимальной параболической подгруппой в G, а отличную от G подгруппу, содержащую Р, - параболической подгруппой. [43]
Известно, что классические группы имеют представления в виде групп перестановок ранга 3: линейные группы действуют на множестве прямых проективного пространства, симплектические и унитарные группы действуют на множестве абсолютных точек, а ортогональные группы - на множестве сингулярных точек. Понятно, что указанные представления классических групп связаны с их строением как групп типа Ли, поскольку в каждом случае одноточечные стабилизаторы совпадают с параболическими подгруппами. Аналогично любая 4-транзитивная группа обладает таким представлением, если рассматривать ее как группу перестановок на множестве всех неупорядоченных пар различных символов. Последнее замечание, следовательно, применимо к знакопеременным, симметрическим группам и группам Матье. [44]
Результат Зейтца [68] содержит важную информацию о представлениях ранга 3 групп Шевалле. А именно для каждого класса G ( q) групп Шевалле существует такое число N, что если qN, то представлением ранга 3 группы G ( q) может быть лишь представление на смежных классах по параболической подгруппе. В действительности результат Зейтца применим к любым рангам. [45]