Cтраница 2
Пусть теперь G-произвольная группа и пусть Я - ее изолированная подгруппа. [16]
Пусть Н - не инвариантная, отличная от своего нормализатора, сильно изолированная подгруппа. Обозначим через t порядок дополнительного множителя группы Фробениуса N ( Н), а через т - индекс подгруппы N ( Н) в группе G. Группа G содержит точно гт инволюций. Так как подгруппа N ( Н) пересекается с сопряженными подгруппами по подгруппам, содержащимся в дополнительных множителях группы Фробениуса N ( Н), то каждый смежный класс группы G по N ( Н) содержит не более t инволюций. [17]
Отсюда нетрудно получить, что подгруппа М плотна ( не содержит собственных изолированных подгрупп и поэтому взаимно проста с сопряженными подгруппами, что противоречит нашему предположению. [18]
Так как подгруппа М не изолирована в G, то она покрывается изолированными подгруппами и, по индуктивному предположению, расщепляема. [19]
Допустим, что существуют неразрешимые группы, каждый неединичный элемент которых содержится в собственной изолированной подгруппе. Обозначим через G группу наименьшего порядка с таким свойством. Согласно теореме Фейта и Томпсона [25], эта группа имеет четный порядок. [20]
Если подгруппа F К не покрывается собственными изолированными подгруппами, то она целиком лежит в некоторой изолированной подгруппе. Так как подгруппа F не изолирована в F К, то, как и выше, / ( F К) I ( F) и подгруппа L инвариантна в G. [21]
Предположим, что подгруппа NM ( Р) не инвариантна в NG ( Р) Пусть KIR - минимальная изолированная подгруппа в NM ( P) / Rj гДе R - наибольший изолированный нормальный делитель подгруппы NG ( Р), содержащийся в NM ( P) Подгруппа KIR совпадает со своим нормализатором, так как в противном случае подгруппа К оказалась бы нильпотентной и, в силу ее непримарности, плотной, что противоречит существованию в ней собственной изолированной подгруппы R. Так как подгруппа KIR взаимно проста с ней сопряженными подгруппами, то факторгруппа NG ( P) IR является группой Фробениуса. Обозначим ее инвариантный множитель через LIR. Так как подгруппа L инвариантна в NG ( Р), то она нильпотентна. [22]
Так как фактор-подгруппа NM ( Щ / К изолирована в NG ( D) IK то она содержит минимальную изолированную подгруппу R / К. Если RIK совпадает со своим нормализатором в NG ( D) / K, то NG ( D) IK является группой Фробениуса. [23]
Пусть представление Г относительно G квазистабильно, [ G, Г ] - группа без кручения и пусть Н - изолированная подгруппа в G. [24]
Пусть в паре ( ( G, 2), Г) область действия G является QR-группой с условием максимальности для - изолированных подгрупп. Тогда внешний радикал yG ( Г) является финитно стабильной группой. [25]
Как и в случае 1), можно показать, что подгруппа F b не расщепляема, и, следовательно, не покрывается собственными изолированными подгруппами. Это возможно только в том случае, если подгруппа F & содержится в некоторой изолированной подгруппе. [26]
Гя ( g) - jr ( g / Gn) П 2 - Мы сможем утверждать, очевидно, что в Г имеется изолированная центральная система, если будет показано, что все Гя () - изолированные подгруппы. [27]
Предположим, что подгруппа NM ( Р) не инвариантна в NG ( Р) Пусть KIR - минимальная изолированная подгруппа в NM ( P) / Rj гДе R - наибольший изолированный нормальный делитель подгруппы NG ( Р), содержащийся в NM ( P) Подгруппа KIR совпадает со своим нормализатором, так как в противном случае подгруппа К оказалась бы нильпотентной и, в силу ее непримарности, плотной, что противоречит существованию в ней собственной изолированной подгруппы R. Так как подгруппа KIR взаимно проста с ней сопряженными подгруппами, то факторгруппа NG ( P) IR является группой Фробениуса. Обозначим ее инвариантный множитель через LIR. Так как подгруппа L инвариантна в NG ( Р), то она нильпотентна. [28]
Изолированная подгруппа имеет четный порядок. [29]
Предположим, что силовская 2-подгруппа содержится в некоторой собственной изолированной подгруппе группы G. Пусть К - максимальная изолированная подгруппа, содержащая силовскую 2-подгруппу. [30]