Cтраница 3
Как известно ( А. Г. Курош [3]), исходя из членов центральных систем в локальных подгруппах Га, можно построить центральную систему всей группы Г, причем в таком построении используются лишь теоретико-множественные операции. Такие операции над изолированными подгруппами снова приводят к изолированным подгруппам. Таким образом, в Г имеется изолированная центральная система, что и доказывает теорему. [31]
Если RIK совпадает со своим нормализатором в Нс ( Т) 1К, то Nc ( T) / K - группа Фро-бениуса. Непримарная нильпотентная подгруппа F содержит собственную изолированную подгруппу К, что невозможно. Если же RIK отлична от своего нормализатора, то R как отличная от своего нормализатора изолированная подгруппа нильпотентна, что снова противоречит, в силу непримарности подгруппы R, существованию в ней собственной изолированной подгруппы. [32]
Таким образом мы получаем возможность анализировать CHJ туацию в группах. В группе из четырех человек с двумя изолированными подгруппами всегда есть риск раскола при возникновении важной проблемы. [33]
Если же она совпадает со своим нормализатором и взаимно проста со своими сопряженными подгруппами, то группа G является группой Фробениуса и М - ее дополнительный множитель. Поэтому в дальнейшем будем считать, что рассматриваемая изолированная подгруппа совпадает со своим нормализатором и имеет неединичное пересечение хотя бы с одной сопряженной подгруппой. При доказательстве теоремы мы будем часто использовать следующее замечание. [34]
Как известно ( А. Г. Курош [3]), исходя из членов центральных систем в локальных подгруппах Га, можно построить центральную систему всей группы Г, причем в таком построении используются лишь теоретико-множественные операции. Такие операции над изолированными подгруппами снова приводят к изолированным подгруппам. Таким образом, в Г имеется изолированная центральная система, что и доказывает теорему. [35]
Нацомним, что группа G называется R-группой ( П. Г. Конторович [1]), если она без кручения и если в G выполняется свойство однозначности извлечения корня из элементов. Последнее условие равносильно тому, что централизатор каждого элемента группы является изолированной подгруппой. Отметим еще, что изолятором произвольной подгруппы Я С G - обозначается через I ( H) - называется пересечение всех изолированных подгрупп из G, содержащих H. [36]
Пусть подгруппа Л X Р не изолирована в группе G. Так как подгруппа А X Р плотная, то она содержится в некоторой изолированной подгруппе. Обозначим через L изолятор подгруппы А ХР. Очевидно, индекс подгруппы L в группе G прост ( равен), и, следовательно, группа G расщепляема. [37]
Всякая изолированная подгруппа с элементами составного порядка содержит центр группы. Если G - р-группа, то факторгруппа группы G по изолятору центра покрывается собственными изолированными подгруппами и, по предположению индукции, расщепляема. [38]
Как и в случае 1), можно показать, что подгруппа F b не расщепляема, и, следовательно, не покрывается собственными изолированными подгруппами. Это возможно только в том случае, если подгруппа F & содержится в некоторой изолированной подгруппе. [39]
Из условия теоремы вытекает, что Г - группа без кручения. Следовательно, центральная система в Г тогда и только тогда обладает нужным свойством, когда все ее члены - изолированные подгруппы. [40]
Так как в этом случае подгруппа R взаимно проста с сопряженными подгруппами и совпадает со своим нормализатором в подгруппе Ж, то М является группой Фробениуса. Покажем, что R не может быть примарной подгруппой. Ясно, что в этом случае минимальная изолированная подгруппа из NG ( D) / R, содержащаяся в NM ( D) / Rj является р-группой. Так как подгруппа R изолирована, то все силовские g - подгруппы ( q f р) из NG ( Щ либо циклические, либо обобщенные группы кватернионов. [41]
Пусть подгруппа К отлична от своего нормализатора. Так как индекс подгруппы К в своем нормализаторе нечетен и подгруппа К нильпотентна, то подгруппа N ( К) разрешима и, следовательно, отлична от G. Подгруппа N ( К) не содержится ни в какой собственной изолированной подгруппе группы G и поэтому покрывается собственными изолированными подгруппами. Тогда в силу выбора группы G подгруппа N ( К) расщепляема. [42]
Если RIK совпадает со своим нормализатором в Нс ( Т) 1К, то Nc ( T) / K - группа Фро-бениуса. Непримарная нильпотентная подгруппа F содержит собственную изолированную подгруппу К, что невозможно. Если же RIK отлична от своего нормализатора, то R как отличная от своего нормализатора изолированная подгруппа нильпотентна, что снова противоречит, в силу непримарности подгруппы R, существованию в ней собственной изолированной подгруппы. [43]
Пусть подгруппа К отлична от своего нормализатора. Так как индекс подгруппы К в своем нормализаторе нечетен и подгруппа К нильпотентна, то подгруппа N ( К) разрешима и, следовательно, отлична от G. Подгруппа N ( К) не содержится ни в какой собственной изолированной подгруппе группы G и поэтому покрывается собственными изолированными подгруппами. Тогда в силу выбора группы G подгруппа N ( К) расщепляема. [44]
Нацомним, что группа G называется R-группой ( П. Г. Конторович [1]), если она без кручения и если в G выполняется свойство однозначности извлечения корня из элементов. Последнее условие равносильно тому, что централизатор каждого элемента группы является изолированной подгруппой. Отметим еще, что изолятором произвольной подгруппы Я С G - обозначается через I ( H) - называется пересечение всех изолированных подгрупп из G, содержащих H. [45]