Cтраница 4
Переходим к общему случаю. Согласно 1.5 в ( G, Г) имеется локальная система подпар ( Ga, Га), таких, что Га - изолированная подгруппа в Г и в Ga имеется стабильный относительно Га ряд со свойствами, отмеченными при рассмотрении специального частного случая. Поэтому если 2а - ядро представления Га относительно Ga, то фактор-группа Га / 2а обладает центральной системой с факторами без кручения. Отсюда заключаем, что и в Га имеется изолированная центральная система. [46]
Подгруппа NM ( Т) 1К изолирована в NG ( Т) / К. Подгруппа R1K должна совпадать со своими нормализатором, так как в противном случае непримарная подгруппа R была бы нильпотентной, что противоречит существованию в ней собственной изолированной подгруппы К. Если же RIK совпадает со своим нормализатором в NQ ( Т) / К, то NG ( Т) / К - группа Фробениуса и прообраз ее инвариантного множителя как подгруппа, не содержащаяся целиком в изолированной подгруппе М, но имеющая с М нетривиальное пересечение, должен быть 2-группой. [47]
Если RIK совпадает со своим нормализатором в Нс ( Т) 1К, то Nc ( T) / K - группа Фро-бениуса. Непримарная нильпотентная подгруппа F содержит собственную изолированную подгруппу К, что невозможно. Если же RIK отлична от своего нормализатора, то R как отличная от своего нормализатора изолированная подгруппа нильпотентна, что снова противоречит, в силу непримарности подгруппы R, существованию в ней собственной изолированной подгруппы. [48]
Если подгруппа F К не покрывается собственными изолированными подгруппами, то она целиком лежит в некоторой изолированной подгруппе. Так как подгруппа F не изолирована в F К, то, как и выше, / ( F К) I ( F) и подгруппа L инвариантна в G. Отсюда получаем, что индекс инвариантной изолированной подгруппы L в группе G равен простому числу и что группа G расщепляема. [49]
Предположим, что К - собственная подгруппа группы G. В этом случае порядок подгруппы Н не прост. Изолятор подгруппы К содержит подгруппу Н и поэтому он совпадает с группой G. Следовательно, подгруппа К покрывается собственными изолированными подгруппами и, по предположению индукции, расщепляема. [50]