Cтраница 3
Будем говорить, что подполугруппа Т полугруппы S расщепляет S тогда и только тогда, когда S - Т - подполугруппа для S. Предыдущий пример показывает, что 0 не обязательно расщепляет в случае 0-простой полугруппы. Однако, если полугруппа S 0-простая слева или 0-простая справа, легко проверить, что 0 расщепляет S и S Т, где Т - соответственно простая слева или простая справа полугруппа. [31]
Легко проверить, что подполугруппа U, удовлетворяющая этому условию, унитарна справа. Пусть S действует на совокупность классов эквивалентности элементов полугруппы S1, определяемых отношением Sj s2, тогда и только тогда, когда для всех х (; S1 s и s % x или оба вместе принадлежат U, или оба не принадлежат U. Множество U есть () класс и U - множество элементов из S, оставляющих U на месте. [32]
Однако она содержит различные более интересные подполугруппы, и в этом смысле 2 г очень богата и необозрима. [33]
Непустое пересечение любого множества подполугрупп является подполугруппой. [34]
Более того, для любой подполугруппы Т полугруппы S существует полугруппа Sr, называемая универсальной Т - обращающей полугруппой, с гомоморфизмом a: S - ST, таким, что он отображает элементы из Г в обратимые элементы из ST ( такой гомоморфизм будем называть Т - обращающим) и любой Г - обращаю-щий гомоморфизм / полугруппы S можно единственным образом представить в виде / а / В этом параграфе нас будет интересовать в основном следующий вопрос: когда гомоморфизм а: 5 - Sr является инъективным. [35]
Из полугруппы можно выделить подполугруппу Гх с х графов, нетривиально разложимых по операции умножения. Тогда задача разложения произвольного графа G e х в произведение графов Gt и G2 ставится как отыскание такого графа G e ( G), который принадлежит Гх и, следовательно, G G. GI Ф G т G2 - Вообще говоря, на графы Gt и G2 никаких ограничений, кроме указанного, не накладывается, поэтому задача разложения неоднозначна. [36]
Пусть символ Л обозначает подполугруппу узлового произведения ( Qg е8) w ( Q /, f5), порожденную множеством элементов а: а 6 Л, и пусть символ ф обозначает единственное расширение отображения а - а до эпиморфизма полугруппы 2Л в полугруппу А ( см. пункт 1.4 е гл. [37]
Каждая полугруппа представляет собой подполугруппу регулярной полугруппы. [38]
Сама S является своей подполугруппой; подполугруппа, отличная от S, называется собственной. Всякая неодноэлементная полугруппа имеет собственные подполугруппы. Подполугруппа Т полугруппы S сама, очевидно, будет полугруппой относительно операции, индуцированной на Т операцией, заданной на S; если при этом Т является группой, то Т называют подгруппой из S. Всякая подгруппа полугруппы содержится в некоторой максимальной подгруппе; максимальные подгруппы попарно не пересекаются. В случае, когда S - периодическая группа, всякая ее подполугруппа будет подгруппой; обратно, если все подполугруппы полугруппы S суть подгруппы, то S - периодическая группа. [39]
Всякий односторонний идеал является подполугруппой. [40]
В этом случае А есть подполугруппа, порожденная множеством Х) Хи. При этом А цнклична, если она обладает единственным порождающим элементом. [41]
Предложение 4.5. Пусть S - подполугруппа в & - ( А), где множество А конечно. [42]
Выделим в этой полугруппе некоторые подполугруппы. [43]
Предложение 4.3. Пусть S - подполугруппа полугруппы Т и D - регулярный Ф - класс в S. [44]
Выяснить, какие элементы порождают моногенные подполугруппы полугруппы А, являющиеся группами. [45]