Cтраница 4
Ясно, что единичный элемент нулевой подполугруппы отличен от единичного элемента исходной полугруппы. [46]
Непустое подмножество Н полугруппы называется подполугруппой, если произведение любых двух элементов из / / снова лежит в И. Это, в частности, означает, что всякая подполугруппа является полугруппой относительно операции, определенной в исходной полугруппе. Например, четные числа образуют подполугруппы полугрупп 1, 2 и 4 из таблицы 1, а множество - 1, О, 1) - подполугруппу полугруппы 2 из той же таблицы. Но для полугруппы 1 это подмножество подполугруппой не является. [47]
Многие изучаемые полугруппы преобразований оказываются подполугруппами каких-либо, из перечисленных выше полугрупп. Совокупность End X всех эндоморфизмов данной структуры является подполугруппой в & - ( Х) - это полугруппа эндоморфизмов. [48]
S K ( S) существует подполугруппа / в 5, которая содержит е в качестве единицы, пересекает К ( S) и является / полугруппой. [49]
Сама S является своей подполугруппой; подполугруппа, отличная от S, называется собственной. Всякая неодноэлементная полугруппа имеет собственные подполугруппы. Подполугруппа Т полугруппы S сама, очевидно, будет полугруппой относительно операции, индуцированной на Т операцией, заданной на S; если при этом Т является группой, то Т называют подгруппой из S. Всякая подгруппа полугруппы содержится в некоторой максимальной подгруппе; максимальные подгруппы попарно не пересекаются. В случае, когда S - периодическая группа, всякая ее подполугруппа будет подгруппой; обратно, если все подполугруппы полугруппы S суть подгруппы, то S - периодическая группа. [50]