Cтраница 3
Доказать, что п линейных функций на n - мерном пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпространство. [31]
Заметим, что последовательность fk % Li не является базисом в Я, она является базисом только в ортогональном дополнении к Яо - нулевому подпространству оператора А. [32]
Примерами линейных подпространств пространства V могут служить само пространство V, а также множество, состоящее из одного нулевого вектора, - так называемое нулевое подпространство. [33]
Предложение 17.13. Для того чтобы сумма подпространств была прямой, необходимо и достаточно, чтобы каждое из этих подпространств пересекалось с суммой всех остальных слагаемых только по нулевому подпространству. [34]
Очевидно, множество G линейно ( а в случае замкнутости Т оно также и замкнуто); его называют нулевым многообразием оператора Т, а в случае замкнутости - нулевым подпространством. Предоставляем читателю доказать следующее простое, но важное предложение. [35]
Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат полю, над которым построено линейное пространство, и оператор имеет только одно одномерное инвариантное подпространство, то все пространство не может быть представлено в виде прямой суммы инвариантных подпространств, каждое из которых отлично от нулевого подпространства. [36]
В этой главе используются следующие основные понятия и термины: вещественное линейное пространство ( линейное пространство над полем вещественных чисел), комплексное линейное пространство ( линейное пространство над полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая система векторов, базис в линейном пространстве, координаты вектора в базисе, координатный столбец вектора, конечномерное линейное пространство и его размерность, арифметическое пространство ( вещественное и комплексное ], бесконечномерное линейное пространство, матрица перехода от одного базиса к другому, линейное подпространство, нулевое подпространство, линейная оболочка системы векторов ( линейное подпространство, натянутое на эту систему векторов), сумма и пересечение двух ( и любого конечного числа) подпространств, прямая сумма двух ( и любого конечного числа) подпространств. [37]
В этой главе используются следующие основные понятия и термины: вещественное линейное пространство ( линейное пространство над полем вещественных чисел), комплексное линейное пространство ( линейное пространство над полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая система векторов, базис в линейном пространстве, координаты вектора в базисе, координатный столбец вектора, конечномерное линейное пространство и его размерность, арифметическое пространство ( вещественное и комплексное), бесконечномерное линейное пространство, матрица перехода от одного базиса к другому, линейное подпространство, нулевое подпространство, линейная оболочка системы векторов ( линейное подпространство, натянутое на эту систему векторов), сумма и пересечение двух ( и любого конечного числа) подпространств, прямая сумма двух ( и любого конечного числа) подпространств. [38]
Нулевое подпространство и само пространство V представления Ф относятся к тривиальным инвариантным подпространствам. Представление, обладающее лишь тривиальными инвариантными подпространствами, называется неприводимым. Представление приводимо, если у него имеется хотя бы одно нетривиальное инвариантное подпространство. [39]
Поскольку 3 есть линейная оболочка своего базиса, из предложения 2 вытекает, что каждое подпространство конечномерного пространства есть линейная оболочка конечного множества векторов. Это относится и к нулевому подпространству, так как оно-линейная оболочка нулевого вектора. [40]
В противном случае эти контакты 1 / П К и L Г К изоклинны. Контакты ортогональных подпространств считаются нулевым подпространством по определению. [41]
Мы не рассматриваем тривиальных случаев нулевого подпространства и всего пространства, которые всегда инвариантны. Сначала покажем, что если имеется нетривиальное инвариантное подпространство, то D ( g) приводимо. [42]
В рассматривае-мом случае говорят, что у Ко каждую точку оси Jc2 нужно считать дважды. Это произошло потому, что базисный вектор 6ч помещен в нулевое подпространство. [43]
Представлением группы Ли G называется гомоморфизм G в группу преобразований Т ( д) линейного пространства V. Представление группы Ли в векторном пространстве V называется приводимым, если V содержит инвариантное относительно G подпространство, отличное от V и нулевого подпространства. [44]
Заметим, что в запись квадратичной формы не входит третья координата. Ввиду одномерности нулевого подпространства отсюда следует, что оно совпадает с третьей координатной осью. [45]