Cтраница 4
Так как 0 0 аО О, то подмножество, состоящее только из нулевого вектора, всегда является подпространством, а поскольку нулевой вектор принадлежит всем подпространствам, то подмножество, состоящее только из нулевого вектора, - наименьшее из всех подпространств. С другой стороны, множество всех векторов также можно считать подпространством, поскольку по определению оно является векторным пространством относительно заданных операций. Нулевое подпространство и все пространство называются тривиальными подпространствами. Все остальные подпространства называются истинными подпространствами. [46]
Доказательство довольно длинное, поэтому вначале приведем его краткий план. А Н - ш Hout и А % Нргор, мы оценим снизу наименьшие ненулевые собственные числа AI и А по отдельности. Чтобы оценить наименьшее собственное число AI А 2, нам потребуется лемма, которая дает такую оценку для суммы через оценки для слагаемых и угол между их нулевыми подпространствами. [47]