Cтраница 3
Остроградский указывает, что анализ Лагранжа в той части его аналитической механики, где он выводит уравнение движения из принципа, наименьшего действия вместе с законом живых сил, неточен. [31]
Тогда движение, как ясно без дальнейших объяснений, плоское и требует поэтому для своего определения только два уравнения, в качестве которых мы воспользуемся законом живой силы и законом площадей, причем плоскость движения мы примем за плоскость ху. [32]
Следовательно, таким путем мы можем вывести из свойств нашей характеристической функции шесть других известных интегралов, упомянутых выше, помимо того седьмого, который содержится в законе живой силы и который помог нам открыть наш метод. [33]
Хотя наш общий метод в динамике предназначен главным образом для изучения систем притягивающихся или отталкивающихся точек, он не ограничивается ими, но может быть использован во всех вопросах, к которым применяется закон живых сил. Все анализы, приведенные в данной работе, и в особенности теория возмущений, могут быть не без пользы проиллюстрированы на следующих аналогичных рассуждениях и выводах, относящихся к движению одной точки. [34]
Зато Якоби не только развил теорию интегрирования дифференциальных уравнений динамики, но и нашел такую форму выражения для принципа наименьшего действия, в которой его глубокая связь с геометрией обобщенного пространства делается особенно прозрачной, а связь с законом живых сил видна еще более отчетливо, чем у Лагранжа. [35]
Таким образом, согласно Эйлеру, необходимым условием применимости принципа наименьшего действия является подчинение системы закону живых сил, в то время как Мопертюи усматривал универсальность своего принципа наименьшего количества действия именно в том, что он имеет более общее значение, чем закон живых сил или другие законы механики. В то же время в той форме, которую придал Мопертюи этому принципу, он имеет смысл только для конечных изменений скорости, и поэтому из него можно получать только уравнения, связывающие конечные величины. Эйлерова же форма принципа наименьшего действия охватывает непрерывные движения, и из нее получаются дифференциальные уравнения траекторий. [36]
Однако, помимо теоретической легкости и малого практического значения исследований, относящихся к таким метательным снарядам, эти результаты будут точны лишь до первой отрицательной степени ( включительно) земного радиуса, потому что выражение ( НО) для силовой функции точно лишь в такой же степени; поэтому строгие и приближенные исследования, основанные на этом выражении и изложенные в шести предыдущих параграфах, предлагаются лишь как математические иллюстрации общего метода, распространяющегося на все проблемы динамики или, по крайней мере, на все те проблемы, к которым применим закон живых сил. [37]
Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зл 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы ( А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно: 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы; 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. [38]
Этим двум уравнениям в частных производных, начальному и конечному, первого порядка, но второй степени, должна тождественно удовлетворять характеристическая функция V; они дают ( как мы увидим далее) основное средство для раскрытия формы этой функции V и имеют существенное значение для ее теории. Поэтому мы можем рассматривать закон живой силы, который помог нам раскрыть свойства нашей характеристической функции V, как включенный в эти свойства и получающийся в каждом частном случае путем исключения из систем ( С) и ( D); при рассмотрении любой из этих систем или при проведении любого другого динамического исследования методом этой характеристической функции мы вправе использовать уравнения в частных производных ( F) и ( G), которым эта функция необходимо должна удовлетворять. [39]
В 1686 г. крупнейший немецкий математик, физик и философ Готфрид Лейбниц в статье Краткое доказательство примечательной ошибки Декарта и других опровергает закон Декарта. Он дает свой закон - закон живых сил. С этой работы Лейбница и начинается история понятия кинетической энергии. [40]
Остроградский указывает, что анализ Лагранжа в той части его аналитической механики, где он выводит уравнения движения из принципа наименьшего действия вместе с законом живых сил, неточен. Он считает, что в силу применения закона живых сил между некоторыми переменными, которые Лагранж полагает независимыми, существует зависимость. [41]
Чтобы получить другое уравнение, нужно обратиться к закону живых сил. [42]
Итак, мы видим, что Лагранж и здесь, как и в проблеме обоснования анализа, идет по пути известного самоограничения. Он ограничивает сферу применимости принципа наименьшего действия областью применимости закона живых сил, следуя в этом отношении за Эйлером. Он рассматривает свойство интеграла J dt 2 mv давать минимум или максимум для действительного движения как свойство аналитического характера. [43]
Итак, здесь ( как, например, и в проблеме обоснования анализа) Лагранж идет по пути известного самоограничения. Он ограничивает сферу применимости принципа наименьшего действия областью применимости закона живых сил, следуя в этом отношении за Эйлером. Он рассматривает свойство интеграла иметь минимум или максимум для действительного движения как свойство аналитического характера. [44]
При движении тяжелой точки М по неподвижной линии имеет место закон живой силы. Если ось z направить вертикально вверх, сила тяжести будет иметь проекции X О, Y О, Z - mg, где т - масса точки, g - ускорение силы тяжести. [45]