Cтраница 3
Наиболее яркие примеры аналитических предложений - это те, в которых субъект тождествен предикату. Если необходимо, что всякий человек должен быть животным, то, a fortiori, необходимо, что всякий человек должен быть человеком. Закон тождества Каждое а есть а является аналитическим предложением, а следовательно, также и необходимым. [31]
Например, мие непонятно, что вы подразумеваете под словом стекло. Закон тождества требует, чтобы сначала были определены все понятия, особенно те, которые вызывают сомнения. [32]
Закон непротиворечия: всякое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Закон тождества: термин в процессе рассуждения должен иметь один и тот же смысл. Закон достаточного основания: всякое высказывание должно быть обоснованным, и обоснование не должно быть избыточным. Но эти законы не являются достаточными для творческого мышления. [33]
В соответствии с законом тождества предмет мысли в пределах одного рассуждения, одного доказательства, одной теории должен оставаться неизменным. Это не означает, что сам предмет мысли или наше знание о нем всегда остаются неизменными. Однако закон тождества требует, чтобы в процессе рассуждения одно знание о предмете не подменялось другим знанием. [34]
Первый из этих законов независим от всех остальных положений силлогистики. Если мы хотим иметь этот закон в системе, мы должны принять его - аксиоматически. Второй закон тождества может быть выведен из первого. [35]
Недавно вышедшая книга Н. И. Кобозева ( 1971) трактует ту же проблему вполне в духе Вигнера. Вигнер склонялся к признанию существования новых законов природы ( которые он вслед за Эльзассером называет биотоническими), не выводимых из квантовомеханических законов. Кобозев говорит о законе тождества для мышления, что из него вытекают без-энтропийность и неограниченно точная воспроизводимость любого логического вывода ( Н. И. Кобозев, 1971, стр. [36]
В качестве аксиом Аристотель берет два первых модуса первой фигуры - Barbara и Celarent. К этим двум аксиомам мы должны прибавить два закона обращения, так как они не могут быть доказаны силлогистически. Если мы хотим иметь в системе закон тождества Всякое А есть Л, мы должны принять его аксиоматически. Простейшую основу мы можем получить, взяв в качестве основных терминов константы Всякое - есть и Некоторое - есть, и определив посредством этих терминов и с помощью пропозиционального отрицания две другие константы, и, наконец, приняв в качестве аксиом четыре следующих положения - два закона тождества и модусы Barbara и Datisi или Barbara и Dimaris. Построить систему только на одной аксиоме невозможно. Искать принцип аристотелевской силлогистики - пустое занятие, если принцип означает то же самое, что и аксиома. Так называемое dictum de omni et nullo не может быть в этом смысле принципом силлогистики и никогда не формулировалось в качестве такового самим Аристотелем. [37]
Очевидно, что для большого числа п число фигур с правильными модусами сравнительно невелико против числа всех фигур. Для п 10 мы имеем соответственно 46 против 512, то есть 466 фигур - пустые. Для п - 1 имеется только одна фигура, А - Л, с двумя правильными модусами - законами тождества. [38]
Можно было бы считать, что при этом вполне сохраняется вероятностное мышление, но это не так: ведь вероятность расценивается только по отношению к достоверности, и если критерий этой последней утрачен вместе с законом тождества и безэнтро-пийностью сознания, то уничтожается и понятие вероятности. Остается частично упорядоченное мышление, не способное оценивать степень своей собственной упорядоченности и даже ставить такой вопрос. Остается догадка, метод проб и ошибок, возможно, остается интуиция, хотя и здесь утрата дискурсии и закона тождества сильно подрывает ее основу - непосредственное усмотрение решения задачи, так как, где нет закона тождества, там нет понятия истинности решения. [39]
Можно было бы считать, что при этом вполне сохраняется вероятностное мышление, но это не так: ведь вероятность расценивается только по отношению к достоверности, и если критерий этой последней утрачен вместе с законом тождества и безэнтро-пийностью сознания, то уничтожается и понятие вероятности. Остается частично упорядоченное мышление, не способное оценивать степень своей собственной упорядоченности и даже ставить такой вопрос. Остается догадка, метод проб и ошибок, возможно, остается интуиция, хотя и здесь утрата дискурсии и закона тождества сильно подрывает ее основу - непосредственное усмотрение решения задачи, так как, где нет закона тождества, там нет понятия истинности решения. [40]
Схема рассуждений для выявления свойств таких частиц может быть такова. Возьмем идеальный газ, подчиняющийся квантовым условиям. Это значит, что на состояние его частиц наложено ограничение, связанное с принципом неопределенности. Принцип неопределенности не устраняет, но ослабляет закон тождества, поскольку все состояния частицы внутри данной квантовой фазовой ячейки считаются физически неразличимыми и только в этом смысле тождественными. [41]
После того как аксиомы и определения сформулированы, математик путем чистого ( то есть основанного только на законах логики) рассуждения доходит до самых сложных из известных теорем, а завтра, опираясь на теоремы, доказанные сегодня, идет еще дальше и доказывает новые, неизвестные ранее теоремы. По мнению таких людей, математика обречена на вечное повторение банальной истины а а в различных видах, не меняющих, однако, главного: как бы ни формулировал математик свои утверждения, он использует все тот же закон тождества, хотя и в преображенном виде. Если противники математики не правы, то потому, что развитие математики происходит не только на основе математических доказательств, но и аксиом, и определений, а они в значительной мере произвольны. [42]
В качестве аксиом Аристотель берет два первых модуса первой фигуры - Barbara и Celarent. К этим двум аксиомам мы должны прибавить два закона обращения, так как они не могут быть доказаны силлогистически. Если мы хотим иметь в системе закон тождества Всякое А есть Л, мы должны принять его аксиоматически. Простейшую основу мы можем получить, взяв в качестве основных терминов константы Всякое - есть и Некоторое - есть, и определив посредством этих терминов и с помощью пропозиционального отрицания две другие константы, и, наконец, приняв в качестве аксиом четыре следующих положения - два закона тождества и модусы Barbara и Datisi или Barbara и Dimaris. Построить систему только на одной аксиоме невозможно. Искать принцип аристотелевской силлогистики - пустое занятие, если принцип означает то же самое, что и аксиома. Так называемое dictum de omni et nullo не может быть в этом смысле принципом силлогистики и никогда не формулировалось в качестве такового самим Аристотелем. [43]
Развивая свою теорию дедукции как логику классов, Джевонс выражает различные виды предложений г лед. А В - полное тождество: классы А и В совпадают; ( 2) А АВ - частичное тождество: класс А совпадает с пересечением классов А к В, напр. Люди - смертные люди, чему в обычной речи соответствует предложение Все люди смертны; ( 3) АВАС - ограниченное тождество: тсждество В и С ограничено сферой вещей, к-рые суть А; ( 4) А АЬ - выражает отрицат. Ни одно А не есть В ( Ь - класс, дополняющий В до класса всех вещей; малым буквам в символике Джевонса соответствуют отрицат. Законам тождества, противоречия и исключенного третьего ( называемого Джевонсом законом двойственности) соответствуют формулы: ЛА, Аа () ( пересечение класса А со своим дополнением пусто) и А АВ - ЛЬ. [44]
Из формулы 31 мы можем легко вывести CMpNLNp посредством подстановки q / p, получая CMpCCppNLNp, из которого наше предложение следует с помощью коммутации и отделения, так как Срр - принятая импликация. Мы получаем CMpCLCppNLNp, но если хотим отделить CMpNLNp, мы должны принять аподиктическую импликацию ЬСрр. И здесь мы сталкиваемся с той же трудностью, что и описанная в предшествующем параграфе. Это выражение может быть интерпретировано как общий закон, касающийся всех предложений, если мы преобразуем его в ЯрСрр; однако такое преобразование становится невозможным, если мы применим ЬСрр к конкретным терминам, например к предложению дважды два пять. Ассерторическая импликация: Если дважды два пять, то дважды два пять понятна и истинна, будучи следствием закона тождества Срр; но каково значение аподиктической импликации: Необходимо, что если дважды два пять, тогда дважды два должно быть пять. Это странное выражение не является общим законом, касающимся всех чисел, оно может быть, самое большее, следствием некоторого аподиктического закона; однако неверно, что следствие аподиктического предложения также должно быть аподиктическим. Срр является следствием LCpp, согласно CLCppCpp, подстановке CLpp, но не аподиктическим. [45]