Cтраница 3
Закон противоречия применим и к противоположным, и к противоречащим суждениям, закон исключенного третьего - только к противоречащим суждениям. [31]
С другой стороны, многие законы классической логики перестают быть выводимыми без закона исключенного третьего. [32]
Мы уже отметили, что трудности, связанные с вопросом о применимости закона исключенного третьего, отнюдь не носят того абсолютного характера, который им придается интуиционистами. Именно интуиционистская логика, сформулированная в виде конечного списка аксиом и правил вывода ( или соответствующей ему системы одних только правил вывода), может быть адэкватно применима поэтому к определенной области предметов совершенно независимо от гносеологических посылок интуиционизма. [33]
Тем не менее мы склонны считать, что аксиома выбора использована и в данном случае, поскольку закон исключенного третьего приходится применять бесконечно много раз, что в соответствии с одной из наших рабочих гипотез равнозначно применению этой аксиомы ( см. с. Но, кроме того, последняя использована в данном рассуждении Фихтенгольца неявно, когда он принял как равносильные два определения непрерывности функции в точке, к чему мы и переходим. [34]
Из его просмотра видно, что оно ие содержит никаких умозаключений, выходящих за рамки метаматематики с законом исключенного третьего - по крайней мере, если допустимы все его определения. [35]
С содержательным подходом к математике связаны, однако, трудности, обусловленные тем, что законы формальной логики, в частности закон исключенного третьего, применимы не ко всякому содержанию. Интуи-ционисты, Брауэр и Вейль, подметили это для так называемых трансфинитных суждений математики, под которыми они понимали высказывания, содержащие термины все и существует, применененные к бесконечным областям предметов. Однако вывод, который они отсюда сделали: - о безнадежной шаткости фундамента математики и кризисе ее основ-был органически связан с их идеалистической философской установкой. Содержание математической дисциплины с такой точки зрения, конечно, не может зависеть от того для какой именно области предметов рассматриваются ее предложения. [36]
Принципом классической логики, который является истинным при рассуждениях о конечных множествах, но который Брауэр не принимает для бесконечных множеств, является закон исключенного третьего. Этот закон, в его общем виде, утверждает, что для каждого предложения А либо А, либо не - А. [37]
В уже освещенной нами работе А. Н. Колмогорова [1] всякое предложение П классической математики отображалось в предложение П псевдоматематики, к которому заведомо был применим закон исключенного третьего. [38]
Предлагаемое ниже доказательство устранимости сечения, конечно, неэлементарно, что и невозможно в силу упомянутого результата Такеути, но все же не использует закона исключенного третьего и протекает в рамках интуиционистской непредикативной теории видов. Можно показать, что доказательство устранимости сечения из выводов ограниченной сложности само формализуется в интуиционистской простой теории типов с аксиомой бесконечности. [39]
Вторым направлением исследований, вызванных к жизни открытием рефлексивного парадокса, была интуиционистская логика и арифметика Брауэра, наиболее новаторской чертой которых был отказ от закона исключенного третьего ( tertium non datur), - логического принципа, утверждающего, что всякое предложение является или истинным или ложным, причем не представляется никакой третьей возможности. [40]
Таким образом, оказывается, что трудность финитного доказательства непротиворечивости формализма всей арифметики определяется вовсе не тем, что в этом формализме содержится формализованная версия закона исключенного третьего. [41]
Таким образом, суждение о том, что математическое доказательство в докартезианской математике еще не было так жестко связано с классической логикой, центральным в которой является закон исключенного третьего, и что доказательство в докартезианской математике совершенно не предполагало интуитивную ясность оснований, представляется в историко-философском плане вполне корректным. [42]
Затем те слагаемые, в которые сомножителями входят не все переменные, умножают на единицы, представленные в виде дизъюнкций каждой недостающей переменной, с ее отрицанием ( закон исключенного третьего), и раскрывают скобки - по первому распределительному закону. Наконец, исключают повторения слагаемых. [43]
Так как классическая арифметика содержит обсуждаемый принцип, то предыдущие результаты можно рассматривать как обоснование - в применении к арифметике - и этого принципа, а не только закона исключенного третьего. [44]
Чтобы - получить доказательства для ( 62) - ( 64) с помощью 3-значных таблиц, достаточно показать, что если один из членов определен, то определен и другой и имеет то же значение ( как утверждает s), при этом используется закон исключенного третьего в областях определения. Этот закон имеет место, если Q и R частично-рекурсивны, а в общем случае эти эквивалентности интуиционистски зависят от него как от гипотезы. [45]