Cтраница 1
Поле разложения тела К является полем разложения и алгебры КЛ, и наоборот, потому что КхЛ и КгхЛ являются полными матричными кольцами над одним и тем же телом. [1]
Поле разложения Гп над Q многочлена Хп - 1 называется круговым или циклотомическим. [2]
Поле разложения тела К является полем разложения и алгебры К / -, и наоборот, потому что КхЛ и КгхЛ являются полными матричными кольцами над одним и тем же телом. [3]
Полем разложения А и системой факторов са брауэров класс алгебр определяется однозначно. [4]
Полем разложения А и системой факторов capv брауэров класс алгебр определяется однозначно. [5]
Но поле разложения однозначно определено с точностью до изоморфизма. [6]
Такое поле разложения будет найдено среди подполей алгебры DL, где L - квадратичное расширение поля F, такое, что алгебра DL циклична. Приступим к подробному доказательству. [7]
Рассмотрим поле разложения F многочлена ( 22 1) / ( 2) существующее в силу 1) и содержащее С в качестве подполя. [8]
Рассмотрим поле разложения F многочлена ( z2 l) / ( z), существующее в силу 1) и содержащее С в качестве подполя. [9]
Два поля разложения одного и того же многочлена, содержащиеся в некотором поле и, являются не только эквивалентными, но даже равными. [10]
Два поля разложения одного и того же многочлена, содержащиеся в некотором поле Q, являются не только эквивалентными, но даже равными. [11]
Существование поля разложения следует из изложенного выше. База индукции, п 1, тривиальна: здесь автоматически L К. [12]
Под полем разложения для этого семейства мы будем понимать расширение К поля k, такое, что всякий fi разлагается в К [ X ] на линейные множители, причем К порождается всеми корнями всех многочленов ft, i.I. В большинстве приложений мы будем иметь дело с конечным множеством индексов /, но рассмотрение бесконечных алгебраических расширений приобретает все большее значение, и мы с ними систематически будем сталкиваться. Следует также заметить, что доказательства различных утверждений, которые мы будем приводить, не стали бы проще, если бы мы ограничились конечными расширениями. [13]
Следовательно, поле разложения произвольного многочлена f ( x) определено однозначно с точностью до эквивалентности. [14]
Каждый автоморфизм поля разложения многочлена / индуцирует нек-рую перестановку его корней, причем этой перестановкой он вполне определяется. Поэтому группу Галуа уравнения в принципе можно трактовать как нек-рую подгруппу группы подстановок его корней ( а именно, подгруппу, состоящую из подстановок, сохраняющих все алгебрапч. [15]