Cтраница 3
В тех из предшествующих глав книги, которые посвящены л и-нейной алгебре, роль основного поля играло обычно поле действительных чисел. Без труда проверяется, однако, что очень многое из этих глав дословно перекосится на случай произвольного основного поля. [31]
Из вышеизложенного вытекает, что в поле комплексных чисел неприводимыми многочленами являются только многочлены первой степени; в поле действительных чисел неприводимыми многочленами, кроме того, могут быть и многочлены второй степени. [32]
Необходимость рассмотрения комплексных чисел связана с тем, что уравнение л: 2 1 О не имеет корней в поле действительных чисел. А ожно было бы ожидать, что какие-то другие алгебраические уравнения с действительными ( и тем более с комплексными) коэффициентами не имеют корней и в поле комплексных чисел. [33]
В качестве такого кольца часто выбирается кольцо 2 целых рациональных чисел, кольцо целых элементов нек-рого алгебраического числового поля, поле R действительных чисел пли поле С комплексных чисел. [34]
Пусть, как обычно, Е и F - конечномерные векторные пространства ( dimE m, dimFn), E над полем R действительных чисел, F над полем действительных или комплексных чисел. [35]
Как отмечено в конце § 2, все нормирования поля Q сводятся либо к абсолютной величине, либо к - р, поэтому все пополнения поля Q - это либо поле действительных чисел, либо поля р-аднческих чисел Qp. Использование всевозможных вложений QcQp ( р-простое число) и QcR часто значительно упрощает ситуацию в арифметических задачах. [36]
Заметим, что доказательство использует неравенства для объемов 2v ( Pi) v ( А), которые справедливы лишь постольку, поскольку объем есть действительное число, а в поле действительных чисел выполняется аксиома Архимеда. [37]
Заметим еще, что все полученные ранее результаты о матрицах и определителях над полем действительных чисел остаются справедливыми для матриц и определителей над произвольным полем, ибо в соответствующих доказательствах специфика поля действительных чисел никогда не использовалась. Более того, теоремы 1.3.7 и 1.3.8 остаются справедливыми для матриц с элементами из любого кольца. Как и выше, доказательства остаются прежними. [38]
Поле действительных чисел является подполем поля комплексных чисел ( комплексное число а Ы действительно, если b 0), или, что то же самое, поле комплексных чисел является расширением поля действительных чисел. Комплексное число, не являющееся действительным, называется мнимым. [39]
Две работы посвящены групповым кольцам абелевых групп. Для случая поля действительных чисел указаны необходимые и достаточные условия. Дуглас [78] рассматривает групповое кольцо / С абелевой группы G над произвольным ассоциативным кольцом А с единицей. Если кольцо А имеет единицу, то соответствующее групповое кольцо полупросто в смысле Джекобсона. [40]
Пусть On ( R) обозначает ортогональную группу матриц над коммутативным кольцом R. Показать, что поле действительных чисел является строгим О-кольцом. Какие еще поля обладают этим свойством. [41]
К есть либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел, либо тело кватернионов. ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ - тройка чисел у, уа, Уз, одновременно не равных нулю, определяющая с точностью до множителя пропорциональности положение точки на проективной плоскости по отношению к заданным четырем точкам А1, А2, А3, Е, никакие три из к-рых не лежат на одной прямой ( четыре точки Alt А2, А3, Е наз. [42]
Можно понять, почему не удается так легко доказать теорему о постоянстве функции с тождественно равной нулю производной: нужно ведь использовать, что функция определена на всем интервале; утверждение перестает быть справедливым, если хотя бы в одной точке интервала функция не определена. Топологическое свойство, отличающее поле действительных чисел от других полей, должно быть использовано; значит, где-то должна использоваться сходимость фундаментальных последовательностей или существование точной верхней грани. [43]
Таким образом, совокупность К всех кватернионов образует алгебраическое тело. Тело К кватернионов содержит поле действительных чисел Z), состоящее из всех кватернионов вида х х1 0 i 0 -; 0 - А. Совокупность G всех кватернионов я, удовлетворяющих условию х 1, образует в силу ( 3) группу по умножению. Множество G есть трехмерная сфера евклидова пространства К. Кватернионы вида хЧ x3j - f - x k называются чисто мнимыми. [44]
Принято, наконец, говорить, что множество действительных чисел обладает свойством непрерывности. Именно это свойство существенно отличает поле действительных чисел от поля рациональных чисел. [45]