Cтраница 1
Поле рациональных чисел, как уже отмечалось выше, не обладает свойством непрерывности, а поле действительных чисел - обладает. Таким образом, множество действительных чисел можно рассматривать, как существенное расширение множества рациональных чисел - существенное в том смысле, что множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительны чисел. При этом расширении сохраняются свойство упорядоченности и операции сложения и умножения. [1]
Поле рациональных чисел содержится целиком во всяком числовом поле. [2]
Поле рациональных чисел Q является плотным подмножеством каждого поля р-адических чисел Qp. Поля р-адиче-ских чисел для различных р не изоморфны. Поле вещественных чисел R также содержит поле рациональных чисел Q в качестве плотного подмножества. [3]
Пополнение поля рациональных чисел с р-адической нормой называется полем р-адических чисел. [4]
К - поле рациональных чисел или поле рациональных функций с действительными коэффициентами, рекурсивно неразрешимы. [5]
Рассмотрим сначала поле рациональных чисел. [6]
Например, поле рациональных чисел архимедово. Если упорядоченное поле не является архимедовым, то существуют бесконечно большие элементы, превосходящие каждое рациональное число, и бесконечно малые, которые превосходят нуль, но меньше любого рационального числа. [7]
Рассмотрим сначала поле рациональных чисел. [8]
Например, поле рациональных чисел архимедово. Если упорядоченное поле не является архимедовым, то существуют бесконечно большие элементы, превосходящие каждое рациональное число, и бесконечно малые, которые превосходят нуль, но меньше любого рационального числа. [9]
Идея расширения поля рациональных чисел во многом обязана попыткам решить конкретные диофантовы уравнения. Использование иррациональных чисел, являющихся корнями многочленов с рациональными коэффициентами, часто позволяет привести такие уравнения к более удобной форме. [10]
Мультипликативная группа поля рациональных чисел изоморфно вкладывается в группу И. [11]
Если k есть поле рациональных чисел, то эта задача превращается в задачу построения нормального поля алгебраич. Галуа и сводится к отысканию алгебраич. Такие уравнения существуют для любой симметрической группы, а также для знакопеременной группы. Конструктивно уравнения со знакопеременными группами построены И. [12]
Доказать, что поле рациональных чисел имеет бесконечно много неизоморфных квадратичных расширений. [13]
В частности, поле рациональных чисел ( Q может быть упорядочено только одним способом, потому что кольцо Z целых чисел допускает, очевидно, только один - - естественный - порядок. Каждое упорядоченное поле содержит поле ( Q и сохраняет на последнем его естественный порядок. [14]
В частности, поле рациональных чисел ( EJ может быть упорядочено только одним способом, потому что кольцо Z целых чисел допускает, очевидно, только один - естественный - порядок. Каждое упорядоченное поле содержит поле Q и сохраняет на последнем его естественный порядок. [15]