Cтраница 3
Мы дадим сейчас другое доказательство предложения 1, годное только для случая алгебр Ли над бесконечными полями характеристики f 2, но зато позволяющее установить в этом случае более общий результат. [31]
Пусть R-некоторое 2 - Р1 - кольцо, являющееся также k - алгеброй, где k - бесконечное поле. Тогда число неассоциированных слева правых делителей элемента с g R, подобных данному атому, равно 0 1 или бесконечно. [32]
В данной работе находятся совпадающие по порядку нижняя и верхняя оценки параметра L ( n) в случае любого конечного коммутативного цепного кольца R, и с их помощью оценивается близость алгоритмов Гаусса и Ко-новальцева к оптимальному алгоритму Из полученных оценок для параметра L ( n), в частности, следует, что при фиксированном п алгоритм Гаусса сколь угодно близок к n - оптимальному для систем уравнений над любым конечным коммутативным цепным кольцом достаточно большой мощности, является оптимальным над бесконечными полями и не является оптимальным для систем уравнений над любым конечным коммутативным цепным кольцом. [33]
Хотя в последнем случае Н действительно равно нулю во внешнем пространстве, однако при этом возникает дополнительный поверхностный интеграл, связанный с обращением магнитного поля на поверхности тела в бесконечность вследствие разрыва непрерывности А. Это бесконечное поле, по-видимому, соответствует диффузному отражению на границе тела. Упомянутый поверхностный интеграл просто выражается через векторный потенциал А, однако получить его выражение через магнитное поле Н в общем случае невозможно, так что калибровочная инвариантность результата не очевидна. В действительности, конечно, теория является калибро-вочно инвариантной, поскольку в ней с самого начала использовалась выбираемая единым образом калибровка векторного потенциала. [34]
Эта топология сильно не отделима; напр. Ай над бесконечным полем k любые два открытые непустые подмножества пересекаются. [35]
Сравнивая ( 2) и ( 3), замечаем, что для систем уравнений над конечными полями алгоритм к по числу операций над элементами поля существенно экономнее алгоритма Гаусса. Заметим еще, что для уравнений над бесконечными полями в худших случаях ( которые будут наиболее вероятными) эти алгоритмы, по существу, совпадают. Так как во второй части алгоритм к осуществляется по схеме алгоритма Гаусса, то по числу элементарных преобразований со строками матриц эти алгоритмы имеют один и тот же порядок сложности. [36]
В формулировке теоремы 6 требуется, чтобы поле Р было бесконечно. Однако если поле Р конечно, то его можно расширить до бесконечного поля ( например, до поля Р ( х) рациональных дробей), н тогда наше рассуждение будет справедливо. [37]
Хотя в последнем случае Н действительно равно нулю во внешнем пространстве, однако при этом возникает дополнительный поверхностный интеграл, связанный с обращением магнитного поля на поверхности тела в бесконечность вследствие разрыва непрерывности А. Это бесконечное поле, по-видимому, соответствует диффузному отражению на границе тела. Упомянутый поверхностный интеграл просто выражается через векторный потенциал А, однако получить его выражение через магнитное поле Н в общем случае невозможно, так что калибровочная инвариантность результата не очевидна. В действительности, конечно, теория является калибро-вочно инвариантной, поскольку в ней с самого начала использовалась выбираемая единым образом калибровка векторного потенциала. [38]
Это равносильно тому, что наименьшие Г - идеалы, содержащие, соответственно, и Z, совпадают. Каждая система тождеств равносильна некоторой системе нормальных тождеств. Если Ф - бесконечное поле, то любая система тождеств равносильна системе полиоднородных тождеств. [39]
Это равносильно тому, что наименьшие 7-идеалы, содержащие, соответственно, и Z, совпадают. Каждая система тождеств равносильна некоторой системе нормальных тождеств. Если Ф - бесконечное поле, то любая система тождеств равносильна системе полиоднородных тождеств. [40]
Вот несколько замечаний по поводу симметрических тензоров, материал о которых отсутствует в переведенном издании Алгебры. Пусть k - бесконечное поле и Е - векторное fe - пространство. [41]
В последнее время все активнее изучаются неассоциативные супералгебры, впервые возникшие в физике и геометрии и оказавшиеся весьма полезными в алгебре. Например, алгебра Грассмана G Go - t - Gi является супералгеброй, если через G0 ( Gi) обозначить подпространство, порожденное словами четной ( нечетной) длины от порождающих алгебры G. Пусть 2Я - некоторый класс алгебр над бесконечным полем, заданный какой-то системой тождеств. Супералгебра ЛЛ0н - Л1 называется ЗЛ-супер-алгеброй, если ее грассманова оболочка G ( A) Оо Ло Gi i принадлежит ЗИ. [42]
Оказывается, что утверждение колчан Г имеет конечный тип не зависит от поля F. Однако доказательство этого факта использует различные методы в случаях конечных и бесконечных полей. Чтобы избежать технических осложнений, мы рассмотрим только случай бесконечного поля F. В оставшейся части этой главы поле F предполагается бесконечным. [43]
Группоид v ( k) над бесконечным полем - свободная полугруппа с 0 и 1, над конечным полем v ( k) может не быть ассоциативным. Дистрибутивность решетки X ( 2Г2) имеет место лишь в случае бесконечного поля. [44]
Постепенно вся власть в странах Европы была передана деньгам, отлажены избирательные технологии. Их результаты все равно определяются деньгами, но создается видимость равноправия и бесконечное поле для поучения диктаторов в остальных странах. Даже сами избиратели это понимают, поэтому большинство из них просто не ходит на выборы. [45]