Cтраница 3
Локальный тензор пористой среды образует случайное непрерывное однородное тензорное поле в трехмерном пространстве элементарного макрообъема. Заметим, что применяемый метод рассмотрения и получаемые результаты не изменятся, если допустить микронестационарность течения и рассматривать поля средних по времени локальных скоростей и локальных тензоров. [31]
Показать, что ковариантная производная тензорного поля вдоль кривой зависит от значения коэффициентов связности и поля только на этой кривой. Иными словами, если тензорное поле задано только в точках кривой, то, тем не менее, можно вычислить ковариантную производную этого тензорного поля вдоль вектора скорости кривой. [32]
Это требование приводит к теории тензорного поля, уравнения которой совпадают с уравнениями Эйнштейна. [33]
Чтобы, например, из ковариантного тензорного поля порядка 1 и веса 0 с компонентами ft получить путем дифференцирования тензорное поле второго порядка, мы воспользуемся произвольным вектором в точке Р и построим инвариант / г. вместе с его бесконечно малым изменением при переходе из точки Р с координатами xt в соседнюю точку Р с координатами Xi dxi, причем вектор параллельно переносится при этом переходе. [34]
Аналогично структура почти произведения задается тензорным полем Р Т1 1 таким, что Pjp. Структура почти произведения называется интегрируемой, если М можно локально представить как прямое произведение двух многообразий М и М так, что оно порождает такое же расщепление касательных пространств. [35]
Предположим, что функции, определяющие тензорное поле, имеют непрерывные частные производные ( п - - 1) - го порядка в точке М ( хь хь х3) и ее окрестности. Тогда в окрестности точки М эти функции могут быть разложены по формуле Тейлора. [36]
Эта формула позволяет вычислять полную производную тензорного поля по времени в эйлеровых координатах. [37]
Аналогичные рассуждения могут быть проведены для тензорного поля любой валентности. Совокупность всех частных производных первого порядка от компонент данного тензорного поля по координатам Xi той точки, в которой рассматривается тензорное поле, образует тензор, валентность которого на единицу больше валентности исходного тензорного поля, - абсолютную производную данного поля. Результат свертывания этой абсолютной производной по индексу, который возникает при дифференцировании, с координатами вектора ах представляет собой абсолютный дифференциал заданного векторного поля. [38]
Поэтому, согласно лемме 11.21, якобиево тензорное поле А, удовлетворяющее условиям А () Е и A ( tj) - Ln ц), является лагранжевым. В силу предложения 11.9 тензор А на интервале с концами t1 и - ( п - l) / 0j имеет точку вырождения. [39]
Частные производные - т - гъ г компонент тензорного поля являются компонентами г 1 раз инвариантного и s раз контравариантного тензорного поля. [40]
Они, как нетрудно показать, являются компонентами ковариантного тензорного поля второго ранга, называемого метрическим тензором. [41]
Так как и кручение, и кривизна являются тензорными полями, то достаточно вычислить их на базисных полях. [42]
Будем считать в дальнейшем, что функции, задающие тензорное поле, непрерывны и имеют непрерывные частные производные любого нужного нам порядка по всем аргументам. [43]
Тензором Риччи называется ( 1, 1) - тензорное поле, соответствующее кривизне Риччи. [44]
Следующие понятия являются синонимами: векторное поле и 1 раз контравариантное тензорное поле; ковариантное векторное поле, 1 раз ковариантное тензорное поле и 1-форма; функция и 0-форма. [45]