Cтраница 2
Принципиальная роль усиленного закона больших чисел в теории вероятностей и в ее приложениях весьма велика. Действительно, предположим на минуту, что, скажем, в случае одинаково распределенных слагаемых, имеющих конечное математическое ожидание, усиленный закон не имеет места. Тогда с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что будут повторяться моменты, когда средняя арифметическая результатов наблюдений будет далека от математического ожидания. И это бы случилось даже в тех случаях, когда наблюдения производятся без систематической ошибки и с полной определенностью. Можно ли было бы в таких условиях считать, что среднее арифметическое из результатов наблюдений сближается с измеряемой величиной, могли ли бы мы в этих условиях считать, что среднее арифметическое можно считать за приближенное значение измеряемой величины. [16]
Принципиальная роль усиленного закона больших чисел в теории вероятностей и в ее приложениях весьма велика. Действительно, предположим на минуту, что, скажем, в случае одинаково распределенных слагаемых, имеющих конечное математическое ожидание, усиленный закон не имеет места. Тогда с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что будут повторяться моменты, когда средняя арифметическая результатов наблюдений будет далека от математического ожидания. Можно ли было бы в таких условиях считать, что среднее арифметическое из результатов наблюдений сближается с измеряемой величиной, могли ли бы мы в этих условиях считать, что среднее арифметическое можно считать за, приближенное значение измеряемой величины. [17]
Результат раздела III дает усиленный закон больших чисел Колмогорова. В самом деле, остаточное а-поле [ 0, Q, поэтому предел является остаточной функцией. [18]
Интересно отметить, что усиленный закон больших чисел выполняется только для величин, имеющих математические ожидания. [19]
Теперь заметим, что усиленный закон больших чисел применим и в том случае, когда Е ( Х1) оо, что можно показать с помощью очевидного урезания. [20]
Одно из классических применений усиленного закона больших чисел указано Борелем. [21]
Прежде чем вернуться к усиленному закону больших чисел, мы докажем еще одну лемму, которая имеет чисто аналитический характер. [22]
Менее полны результаты по усиленному закону больших чисел. [23]
Таким образом, мы имеем усиленный закон больших чисел Колмогорова. [24]
Это легко получить и из усиленного закона больших чисел. Если р 1 / 2, то среднее число возвращений в 0 бесконечно; частицу не сносит. Интересно отметить, что при этом среднее число возвращений растет не пропорционально числу шагов. [25]
Необходимые и достаточные условия для усиленного закона больших чисел были найдены в ряде работ Ю.В. Прохорова 1958 - 1959 г. ( см. Об усиленном законе больших чисел, Изв. [26]
Но сам по себе рассмотренный вариант усиленного закона больших чисел довольно слаб. [27]
Другими словами, предложение, обратное усиленному закону больших чисел, не справедливо. [28]
Один окончательный результат, относящийся к усиленному закону больших чисел, был получен также А.Н. Колмогоровым для случая одинаково распределенных независимых слагаемых. [29]
Непосредственно из этого результата выводится так называемый колмогоровский усиленный закон больших чисел. [30]