Cтраница 1
Классические ортогональные полиномы дискретной переменной являются решениями разностных уравнений, которые аппроксимируют дифференциальные уравнения, возникающие при решении многих задач математической физики методом разделения переменных. Поэтому они находят широкое применение в математической физике. [1]
Классические ортогональные полиномы дискретной переменной - важный класс специальных функций, возникающих в различных вопросах математики, теоретической физики, вычислительной математики и техники; эта область сейчас интенсивно развивается. Следует отметить, что между классическими ортогональными полиномами непрерывного и дискретного аргументов существует глубокая аналогия, причем одно из основных ее проявлений - в теории представлений групп. [2]
Классические ортогональные полиномы, сферические и гинергеометри-ческие функции, а также функции Бесселя рассматриваются с единой точки зрения как частные решения возникающего во многих задачах математической физики и квантовой механики дифференциального уравнения определенного типа. Для решений этого уравнения с помощью обобщения формулы Родрига найдено интегральное представление, из которого получены все основные свойства специальных функций. Построена также теория классических ортогональных полиномов дискретной переменной как на равномерных, так и неравномерных сетках, установлена их связь с коэффициентами Клебша - Гордаиа и коэффициентами Рака. Рассматриваются приложения к задачам математической физики, квантовой механики и вычислительной математики. [3]
Классические ортогональные полиномы обладают целым рядом свойств, которые вытекают непосредственно из свойства ортогональности этих полиномов. [4]
Классических ортогональных полиномов дискретной пере менной получается из свойства ортогональности для произвольных ортогональных полиномов в результате замены определенного интеграла на сумму, то при соответствующем определении скалярного произведения ( t / n, ym) для полиномов Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье сохраняются все общие свойства, присущие произвольным ортогональным полиномам. [5]
Теория классических ортогональных полиномов излагается в гл. Эти полиномы являются наиболее простыми специальными функциями. В то же время, опираясь на формулу Редрига для классических ортогональных полиномов, легко прийти к инте-1 тральным представлениям для других специальных функций математической физики, например для функций Бесселя ( гл. [6]
Хотя изучение классических ортогональных полиномов дискретной переменной началось еще в середине прошлого века [43], в литературе отсутствует систематическое изложение их теории. В настоящей книге сделана попытка восполнить этот пробел. Оказалось, что предложенный ранее простой подход к построению теории специальных функций [27, 28] можно обобщить таким образом, чтобы с единой точки зрения, в компактной форме рассмотреть все классические ортогональные полиномы дискретной переменной на равномерных и неравномерных сетках, а также самые важные из их приложений. [7]
Знание теории классических ортогональных полиномов необходимо для изучения их обобщений. [8]
Это свойство классических ортогональных полиномов широко используется при решении задач квантовой механики, связанных с нахождением уровней энергии и волновых функций частицы, движущейся в стационарном силовом поле. Если внешние силы удерживают частицу в ограниченной области пространства, так что она не может уйти на бесконечность, то говорят о связанных состояниях частицы. [9]
То, что классические ортогональные полиномы уп ( х) при ЯЯП являются нетривиальными решениями поставленной задачи, проверяется непосредственно. [10]
При исследовании свойств классических ортогональных полиномов и нахождении весовых функций р ( х) удобно воспользоваться тем, что после линейной замены независимой переменной х уравнения ( 1) и ( 6) переходят в уравнения того же типа, а полиномы уп ( х) остаются полиномами и по-прежнему определяются формулой Род-рига. Это обстоятельство позволяет провести классификацию классических ортогональных полиномов. [11]
Непосредственно проверяется, что классические ортогональные полиномы уп ( х) при X Кп являются нетривиальными решениями поставленной задачи. [12]
Специальные функции математической физики - классические ортогональные полиномы, сферические, цилиндрические и гипергеометрические функции - обычно возникают при решении дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных. Они удовлетворяют некоторому обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с полиномиальными коэффициентами. Теория этих функций, зародившаяся в работах Эйлера, Гаусса, Лапласа, Якоби, Римана и Чебышева, давно превратилась в классический раздел математики, глубоко проникающий в анализ, теорию функций комплексной переменной, теоретическую и математическую физику, теорию представлений групп, и имеет широкие практические приложения. Специальные функции математической физики детально изучены. Для многих из них составлены подробные таблицы, разработаны эффективные алгоритмы вычислений на ЭВМ. [13]
Лучшие результаты может дать использование классических ортогональных полиномов Чебышева, Лежандра, Лагерра, Якоби и других в качестве базисных функций. [14]
Это обстоятельство приводит к явному выражению классических ортогональных полиномов в виде формулы Родрига. Далее доказывается свойство ортогональности, выводятся формулы дифференцирования, рекуррентные соотношения и ряд других важных свойств. [15]