Cтраница 3
Соотношения ( 67) и ( 68) приводят к представлениям классических ортогональных полиномов дискретной переменной через гипергеометрические функции. [31]
Если при разложении функции / ( я) в ряд по классическим ортогональным полиномам у ( х) можно ограничиться сходимостью в среднем, то, как известно из курса математического анализа, такая сходимость для функций fix), удовлетворяющих условию ( 5), будет вытекать непосредственно из свойства замкнутости системы [ уп ( х) при условии, что всюду под определенными интегралами подразумеваются интегралы Лебега. [32]
Найдем явные выражения для веса p (), с которым ортогональны классические ортогональные полиномы дискретной переменной. [33]
В данной главе показано, что все перечисленные величины можно выразить через классические ортогональные полиномы дискретной переменной. [34]
Наиболее употребительными специальными функциями являются так называемые специальные функции математической фиалки: классические ортогональные полиномы ( полиномы Яко - - би, Лагерра и Эрмита), сферические, цилиндрические и гипергеометрические функции. Теории этих функций и их приложениям посвящен целый ряд фундаментальных исследований. К сожалению, в этих исследованиях используется довольно громоздкий математический аппарат и множество специальных приемов. Поэтому давно существует потребность в построении теории специальных функций, основанном на одной общей и достаточно простой идее. [35]
Главы II-IV посвящены реализации намеченной программы для конкретных функций гипергеометрического типа - классических ортогональных полиномов, сферических, цилиндрических и гипергеометрических функций. [36]
Существует простой прием, который позволяет включить в рассмотренную выше схему построения теории классических ортогональных полиномов дискретной переменной еще некоторые семейства полиномов. В § 3 было доказано свойство ортогональности полиномов Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье на дискретном множестве точек. Если при помощи теоремы о вычетах сумму в соотношении ортогональности ( 27) записать в виде контурного интеграла, а затем распрямить контур в комплексной плоскости, то в некоторых случаях после аналитического продолжения по параметру на прямой, параллельной мнимой оси, возникает система полиномов, ортогональных относительно непрерывной меры. [37]
Некоторые специальные функции, родственные функциям второго рода Q0 ( z) для классических ортогональных полиномов. [38]
Рассмотренное в § 1 свойство разностных производных & пу ( х) позволяет построить теорию классических ортогональных полиномов дискретной переменной, следуя той же логической схеме, которая была принята в предыдущей главе. [39]
Разностное уравнение ( 3) было введено как обобщение дифференциального уравнения ( 1) для классических ортогональных полиномов. Поэтому естественно ожидать, что полиномиальные решения уравнения ( 3) y ( s) yu [ x ( s) ] и весовые функции p ( s) при / z - 0 будут переходить в пределе при соответствующей нормировке в полиномиальные решения уравнения ( 1) и соответствующие им весовые функции. [40]
Полиномы pk ( A) ( а также qk ( A) относятся к типу классических ортогональных полиномов. Они удовлетворяют рекуррентному соотношению вида ( ср. [41]
Разностное уравнение ( 3) было введено как обобщение дифференциального уравнения ( 1) для классических ортогональных полиномов. Поэтому естественно ожидать, что полиномиальные решения уравнения ( 3) y ( s) у ЬЫ ] и весовые функции p ( s) при h - 0 будут переходить в пределе при соответствующей нормировке в полиномиальные решения уравнения ( 1) и соответствующие им весовые функции. [42]
Полиномы pk ( A) ( а также qk ( А)) относятся к типу классических ортогональных полиномов. Они удовлетворяют рекуррентному соотношению вида ( ср. [43]
Так как условие ортогональности ( 9) со скалярным произведением вида ( 10) имеет место для классических ортогональных полиномов дискретной переменной, то эти полиномы удобно использовать для сжатия информации. [44]
В заключение отметим, что в связи со спектральным методом обработки информации возникает интересная задача выбора оптимального базиса классических ортогональных полиномов. [45]