Cтраница 3
Пример, показывающий, что полнота пространства не является топологическим свойством: непрерывная функция е отображает всю числовую ось R1 взаимно однозначно на промежуток ] 0, оо [ и имеет непрерывную обратную функцию In у; однако метрическое пространство J. [31]
Нашей ближайшей целью является доказательство полноты пространства Фр. Леммы, которые понадобятся для этой теоремы, будут использованы и в дальнейшем. [32]
Для доказательства теоремы достаточно установить полноту пространств Li ( Q) и L2 ( Q) в соответствующих нормах. [33]
Единственность неподвижной точки получаем независимо от полноты пространства. [34]
Все условия теоремы являются существенными: полнота пространства, замкнутость шаров, условие того, что они вложены, стремление их радиусов к нулю. Наименее очевидной является существенность последнего условия. Вот пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга шаров, имеющих пустое пересечение. [35]
Сейчас мы подробнее расмотрим вопрос о полноте пространств Lp. Предварительно установим один вспомогательный результат. [36]
При построении спектральной теории вполне непрерывных операторов полнота пространства, как мы ниже увидим, используется не всюду. С другой стороны, при отказе от требования полноты область приложений теории расширяется. Поэтому в настоящей главе наряду с предложениями, относящимися к операторам в пространстве Гильберта Н, будет установлен ряд предложений относительно операторов в произвольной линейной метризованной системе R. К числу этих предложений относятся также две леммы, которым посвящен настоящий пункт. [37]
Справедливость многих важных теорем анализа зависит от полноты пространств, в которых развивается действие. Именно этим объясняются недостаточность рациональных чисел и интеграла Римана ( если говорить лишь о наиболее известных примерах) и тот успех, который достигается при замене их вещественными числами и интегралом Лебега. Чтобы подчеркнуть роль, которую играет понятие категории, мы доказываем некоторые теоремы этой главы ( например, теоремы 2.7 и 2.11) в чуть большей общности, чем это обычно бывает нужно. [38]
Теперь из теоремы 8.5.1 вытекает, что полнота пространства Е необходима и достаточна для того, чтобы в Е каждая почти слабо замкнутая гиперплоскость была слабо замкнута. Этот результат служит основанием для введения следующих определений. [39]
Из (58.61) и (58.64) следует в силу полноты пространства ( - оо, оо), что существует предел ( почему. [40]
Здесь уместно сделать несколько замечаний относительно предположения полноты пространств Е и F в теоремах об открытом отображении и замкнутом графике. В случае ( а) в новейших результатах полнота пространства F явно не фигурирует. От полноты Е также можно отказаться, но только за счет дополнительных предположений, которые по сути дела являются самообманом, ибо дают возможность заменить пространства Е и F их пополнениями. Напротив, в случае ( Ь) условие полноты Е ( даже более сильное, чем обычное) является весьма существенным, а относительно пространства F необходимо сделать еще и другие предположения. [41]
Из (58.65) и (58.68) следует в силу полноты пространства L2 ( - со, сю), что существует предел ( почему. [42]
Для этого мы должны исследовать отделимость и полноту пространства V0 - В действительности мы приведем достаточные условия того, что объемлющее пространство V полно. [43]
Таким образом, мы получаем возможность говорить о полноте счетно-нормированного пространства, понимая под этим полноту относительно введенной выше метрики. Иными словами, полнота счетно-нормированного пространства означает, что в нем всякая последовательность, фундаментальная по каждой из норм - , сходится. [44]
Приведены необходимые сведения о типах сходимости случайных величин, полноте пространств. Они необходимы для строгого изложения теории случайных процессов: без них было бы невозможно обосновать каноническое разложение случайного процесса. Рассмотрены теорема Биркгофа - Хинчина и понятие эргоди-ческого процесса. [45]