Cтраница 3
X - непрерывные линейные операторы в X при t O и Т ( t) t 0 является С0 - полугруппой операторов в ( X, ), рассматриваемом как вещественное банахово пространство. [31]
Квадратичная форма F на L2 ( X m) называется формой Дирихле, если она замкнута, плотно определена, симметрична, неотрицательна и порождает полугруппу Tt марковских операторов. Гиперконечные формы Дирихле определяются аналогично. В следующем параграфе мы увидим, что формы Дирихле суть в точности формы, порождающие марковские процессы; пока же сделаем лишь одно простое наблюдение. [32]
Отметим, что в работах П. Е. Соболевского [7, 8] понятие эллиптического оператора вводится специальным образом: вначале рассматривается смешанная задача для параболического уравнения, затем показывается, что обобщенные решения смешанной задачи определяют некоторую полугруппу органиченных операторов, и, наконец, производящий оператор этой полугруппы объявляется эллиптическим оператором. Такая конструкция позволяет ослабить ограничения на гладкость границы и гладкость коэффициентов в дифференциальном уравнении и в граничных условиях. [33]
К полугруппе операторов П всегда можно присоединить единицу е, действующую как тождественный автоморфизм основной группы G; условие ( 2) не будей при этом нарушено. Если полугруппа операторов, обладающая единицей, действует на группе G так, что единица является тождественным оператором, то будем говорить, что она действует унитарно. [34]
К полугруппе операторов П всегда можно присоединить единицу е, действующую как тождественный автоморфизм основной группы G; условие ( 2) не будете при этом нарушено. Если полугруппа операторов, обладающая единицей, действует на группе G так, что единица является тождественным оператором, то будем говорить, что она действует унитарно. [35]
Для понимания книги нужно, знание основных положений теории операторов, которые изложены без доказательства во введении. Результаты теории сильно непрерывных полугрупп операторов, лежащие в основе всей книги, как правило, приводятся с полными доказательствами, причем в терминах, связанных с дифференциальными уравнениями. [36]
Отметим, что П есть свободная полугруппа с множеством 2 свободных образующих ( ср. G даже полугруппой операторов, так как справедливость требования ( 2) вытекает из ( 3) и ассоциативности умножения эндоморфизмов. Ясно также, что 2-допустимые подгруппы остаются и П - допустимымп, а 2-операторные гомоморфизмы будут и П - операторными. [37]
Отметим, что П есть свободная полугруппа с множеством S свободных образующих ( ср. G даже полугруппой операторов, так как справедливость требования ( 2) вытекает из ( 3) и ассоциативности умножения эндоморфизмов. Ясно также, что 2-допустимьте подгруппы остаются и П - допустимыми, а 2-операторные гомоморфизмы будут и П - операторнъши. [38]
Полезным примером экспоненциально устойчивой полугруппы операторов является полугруппа, порожденная оператором Лапласа. Отметим, что диссипатнвпая, компактная и самосопряженная полугруппа операторов будет экспоненциально устойчивой, если число нуль не является собственным значением инфинитезимального производящего оператора. [39]
Далее, следует иметь в виду, что абстрактная теория зачастую более проста, нежели ее приложения к конкретным ситуациям. Это замечание касается теории полугрупп операторов, в которой, например, теоремы о порождении полугрупп довольно просты в их абстрактном варианте; однако доказать, что конкретное уравнение в частных производных порождает полугруппу операторов, далеко не просто. И действительно, начинающего читателя озадачат нескончаемые вариации при рассмотрении краевых задач н при определении граничного значения функции. Здесь я предпринял ряд попыток проиллюстрировать на конкретных примерах отношение абстрактной теории к задачам из области уравнении в частных производных; при этом полученные результаты ни в коей мере не претендуют на какую-либо завершенность. [40]
Полагая а - tfn, мы получим полугруппу операторов Гильберта - Шмидта, но ее резольвента таковой не будет. Таким способом можно строить компактные ( а также HS) полугруппы в любом сепарабельиом гильбертовом пространстве. [41]
В этой теории в качестве дифференциальной характеристики марковского процесса берется инфинитезимальный оператор соответствующей полугруппы операторов, связанной с процессом. [42]
Далее, следует иметь в виду, что абстрактная теория зачастую более проста, нежели ее приложения к конкретным ситуациям. Это замечание касается теории полугрупп операторов, в которой, например, теоремы о порождении полугрупп довольно просты в их абстрактном варианте; однако доказать, что конкретное уравнение в частных производных порождает полугруппу операторов, далеко не просто. И действительно, начинающего читателя озадачат нескончаемые вариации при рассмотрении краевых задач н при определении граничного значения функции. Здесь я предпринял ряд попыток проиллюстрировать на конкретных примерах отношение абстрактной теории к задачам из области уравнении в частных производных; при этом полученные результаты ни в коей мере не претендуют на какую-либо завершенность. [43]
Настоящая книга посвящена теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами. Начало этой теории положено работами Хилле и Иосида ( 1948), в которых были получены первые теоремы существования решений задачи Коим для уравнения х Ах с неограниченным оператором А в банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. Иосида, а позднее Феллер, связали эти исследования полугрупп с различными задачами для уравнения диффузии. Параллельно с этим Хилле, а затем Филлипс, начинают строить теорию абстрактной задачи Коши для уравнений в банаховом пространстве. Линце применяют полугрупповые методы К игеМ Лананпк) различных классов параболических уравнений. В указанных работах Хилле, Иосида, Филлипса и Кото были заложены, основы теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторами, которая после этого становится самостоятельной областью исследования, привлекающей внимание многих математиков. [44]
Оно состоит в том, что с помощью нек-рого положит, оператора в L 2, обратимого на всюду плотном множестве, можно перевести полугруппу U1, t Q ] унитарных операторов ( обратимых), отвечающих К-системе, в полугруппу необратимых марковских операторов, сходящихся ( в нек-ром смысле монотонно) к пределу при г-юо. [45]