Cтраница 4
В настоящее время активно разрабатывается теория оптимального управления в системах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных пронэводиы. Вполне естественно, что распространение этой системы касается преимущественно линейных систем; этот факт обусловлен не только чисто математическими причинами, но и сугубо практическими. Теория полугрупп операторов, развитая и предыдущей плеве. Благодаря этой теории достигается разумный уровень общности и она позволяет отличать особенности, присущие дифференциальным уравнениям в частных производных. Далеко не последним преимуществом является также структурная аналогия с конечномерными моделями управляемых систем. Конечно, теория полугрупп применима лишь к стационарным системам, но это ие является серьезным ограничением. [46]
Причина состоит в том ( и это подтверждают приведенные выше примеры) - что в обычной обстановке непрерывные полугруппы сжимающих операторов на функциональном пространстве J. Для полугрупп на пространстве мер это неверно. Существуют аналитически очень естественные полугруппы сжимающих операторов, не порождаемые марковскими процессами. [47]
Случай, когда оператор С не ограничен, тоже представляет определенный интерес. Действительно, в некоторых задачах ( см. примеры ниже) оператор С может не иметь даже замкнутого расширения. В этой ситуации определяющую роль играют сиойства гладкости полугруппы операторов. [48]
Соответствующие построения осуществимы и в пространстве произвольного числа измерений для общих эллиптич. Здесь основные результаты условно могут быть разбиты на 3 группы: относящиеся к операторным уравнениям с 1 - й и 2 - й производной по времени [5], к симметричным положительным системам с частными производными 1-го порядка [3], [6] и к задаче Коши для гиперболич. Первая группа результатов излагается обычно либо в контексте обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и теории полугрупп операторов, либо, вместе со второй и третьей группами, в рамках так наз. Последняя, в общих чертах, заключается в следующем. [49]