Cтраница 1
Простая полугруппа), связанные с отношением порядка. S с наименьшим s и наибольшим g элементами ( в частности, конечная) будет выпукло идеально простой тогда и только тогда, когда s и g одновременно левые или правые нули в S. [1]
Односторонне простые полугруппы без идемпотентов являют собой один из типичных представителей класса бипростых, но не вполне простых полугрупп. Обе они в некотором смысле минимальны среди бипростых, но не вполне простых полугрупп. Так, для любого идем-потента е идеально простой [ 0-простой ], но не вполне [0-] простой полугруппы 5 существует бициклическая подполугруппа из S, в которой е является единицей. [2]
S - простые полугруппы и S есть объединение групп. [3]
У есть простая полугруппа, так что ГПУ - также простая полугруппа ( см. упражнения 17 и 18 из параграфа 1 гл. [4]
Дальнейшее рассмотрение односторонне простых полугрупп проводится ради определенности для правостороннего случая. Условия ( 5) - ( 7) выше показывают, что простые справа полугруппы с идемпотен-тами составляют подкласс класса вполне простых полугрупп и имеют очень ясную структуру. Для простых справа полугрупп без идемпотентов подобных структурных характеризаций нет, хотя в классе таких полугрупп имеются описанные ниже универсальные ( по вложимости) полугруппы. Всякая полугруппа Тессье проста справа и не имеет идемпотентов, а всякая полугруппа Бэра - Леви будет к тому же полугруппой с правым сокращением. [5]
Пусть S - конечная вполне простая полугруппа. Тогда любая подполугруппа S из S вполне проста. [6]
Аналогичные свойства выполняются для вполне простых полугрупп. [7]
Докажите, что любая подполугруппа простой полугруппы простая. [8]
Пусть S - простая, но не вполне простая полугруппа. Тогда любой идемпотент из S является единичным элементом некоторого бициклического моноида, содержащегося в S. [9]
Так как / С ( 5) - всегда простая полугруппа, полугруппа fn i К ( S) будет 0-простой. С есть ненулевой идеал полугруппы S / 7 /, содержащийся в Fj Ij-i / Ij, и пусть т): 5 - - 5 / / / - канонический эпиморфизм. [10]
ПРАВАЯ ГРУППА - полугруппа, простая справа ( см. Простая полугруппа) и удовлетворяющая левостороннему закону сокращения. [11]
Бицикли-ческая полугруппа является примером бипростой регулярной, но не вполне простой полугруппы. [12]
У есть простая полугруппа, так что ГПУ - также простая полугруппа ( см. упражнения 17 и 18 из параграфа 1 гл. [13]
Из приведенного критерия изоморфности вытекает, что любая вполне [0-] простая полугруппа изоморфна такой регулярной рисовской матричной полугруппе над [0-] группой, у которой сэндвич-матрица нормализована - это значит, что для фиксированных / о и Яо каждый элемент А о-й строки и / о-го столбца равен либо 0, либо единице структурной группы. При желании явно указать индексы io и Л 0 говорят о / о) - нормализованной матрице. [14]
Архимедовы полугруппы с идемпотентами допускают описание, осуществляющее редукцию к идеально простым полугруппам, нильполугруппам и идеальным расширениям. Полугруппа 5 с непустым множеством Es архимедова [ левоархимедова, правоархиме-дова ] тогда и только тогда, когда S есть нильрасши-рение идеально простой полугруппы К [ левой группы, правой группы ]; здесь ТС - ядро и / С / ( е) для любого е е Es. В двух последних ( односторонних) случаях S автоматически будет эпигруппой. В первом же случае S будет эпигруппой тогда и только тогда, когда К вполне проста, и это эквивалентно также тому, что Es есть антицепь. Следующие условия для полугруппы S эквивалентны: ( 1) S - биархимедова полугруппа с идемпотентом; ( 2) S - унипотентная эпигруппа; ( 3) S - нильрасширение группы; ( 4) S разложима в подпрямое произведение группы и ниль-полугруппы. [15]