Cтраница 4
S разлагается в полуструктуру вполне простых полугрупп, это разложение единственно, его компоненты суть в точности - классы, а соответствующая факторполуструктура изоморфна полуструктуре главных идеалов полугруппы S, обратно, всякая полугруппа, разложимая в полуструктуру вполне простых полугрупп, есть К. [46]
Свойство полугруппы S быть вполне простой эквивалентно, кроме соответствующих версий вышеприведенных условий ( 2) - ( 4), каждому из условий: ( 5) 5 есть прямоугольная связка ( необходимо изоморфных друг другу) групп; ( 6) S регулярна и все ее идемпотенты примитивны. В силу ( 5) всякая вполне простая полугруппа клиффордова. Полугруппы, в которых все подполугруппы совпадают со своими идеализаторами, - это в точности периодические вполне простые полугруппы. Идеально ( и, автоматически, вполне) простые полугруппы идемпо-тентов - это в точности прямоугольные полугруппы. [47]
Sy влечет равенство Sx Sy. Идемпотент /, удовлетворяющий условию ( Ь), называют примитивным, и, как мы увидим, минимальный идеал конечной полугруппы может быть охарактеризован как простая полугруппа, содержащая примитивные идемпотенты. Полугруппа с этими свойствами называется вполне простой. [48]
Архимедовы полугруппы и полурешеточные разложения. Для коммутативных полугрупп разница между четырьмя вариантами архимедовости, разумеется, пропадает. Полугруппа будет архимедовой [ левоархиме-довой, правоархимедовой, биархимедовой ] тогда и только тогда, когда она не содержит собственных изолированных двусторонних [ левых, правых, односторонних ] идеалов. Таким образом, свойство полугруппы быть архимедовой ( в любом из вариантов) можно рассматривать как некий ослабленный вид соответствующей простоты; в частности, всякая идеально [ слева, справа ] простая полугруппа является архимедовой [ левоархимедовой, правоархимедовой ], всякая группа есть биархимедова полугруппа. [49]
S разлагается в полуструктуру вполне простых полугрупп, это разложение единственно, его компоненты суть в точности - классы, а соответствующая факторполуструктура изоморфна полуструктуре главных идеалов полугруппы S, обратно, всякая полугруппа, разложимая в полуструктуру вполне простых полугрупп, есть К. [50]