Cтраница 3
Ряд известных результатов о кольцах линейных преобразований и некоторые свойства абстрактных колец получены из рассмотрения только их мультипликативных полугрупп. Главным образом здесь использованы свойства вполне простых полугрупп. [31]
Свойство полугруппы S быть вполне простой эквивалентно, кроме соответствующих версий вышеприведенных условий ( 2) - ( 4), каждому из условий: ( 5) 5 есть прямоугольная связка ( необходимо изоморфных друг другу) групп; ( 6) S регулярна и все ее идемпотенты примитивны. В силу ( 5) всякая вполне простая полугруппа клиффордова. Полугруппы, в которых все подполугруппы совпадают со своими идеализаторами, - это в точности периодические вполне простые полугруппы. Идеально ( и, автоматически, вполне) простые полугруппы идемпо-тентов - это в точности прямоугольные полугруппы. [32]
Группы, и только они, суть полугруппы, простые слева и справа, всякая 0-группа 0-бипроста. Поэтому конструкции, возникающие при описании простых полугрупп ряда типов, часто включают в качестве одного из блоков группу или 0-группу - особенно при наличии идемпотентов в описываемых полугруппах; примеры такого сорта ниже встретятся не раз. Случай полугрупп без идемпотентов имеет, как правило, заметную специфику. [33]
Следующие условия для полугруппы S эквивалентны: 1) S прямоугольна, 2) S есть идеально простая И. Простая полугруппа), 3) S есть вполне простая полугруппа идемпотентов, 4) S изоморфна прямому произведению LXR, где L - левосингулярная, а R - правосингулярная полугруппы. Это разложение служит исходным пунктом при изучении многих свойств И. [34]
Из этих определений сразу же вытекает, что если полугруппа S вполне проста, то полугруппа 5 вполне 0-проста. Как следствие получаем, что многие результаты о вполне простых полугруппах очевидным образом вытекают из результатов для вполне 0-простых полугрупп. [35]
Односторонне простые полугруппы без идемпотентов являют собой один из типичных представителей класса бипростых, но не вполне простых полугрупп. Обе они в некотором смысле минимальны среди бипростых, но не вполне простых полугрупп. Так, для любого идем-потента е идеально простой [ 0-простой ], но не вполне [0-] простой полугруппы 5 существует бициклическая подполугруппа из S, в которой е является единицей. [36]
Дальнейшее рассмотрение односторонне простых полугрупп проводится ради определенности для правостороннего случая. Условия ( 5) - ( 7) выше показывают, что простые справа полугруппы с идемпотен-тами составляют подкласс класса вполне простых полугрупп и имеют очень ясную структуру. Для простых справа полугрупп без идемпотентов подобных структурных характеризаций нет, хотя в классе таких полугрупп имеются описанные ниже универсальные ( по вложимости) полугруппы. Всякая полугруппа Тессье проста справа и не имеет идемпотентов, а всякая полугруппа Бэра - Леви будет к тому же полугруппой с правым сокращением. [37]
Архимедовы полугруппы с идемпотентами допускают описание, осуществляющее редукцию к идеально простым полугруппам, нильполугруппам и идеальным расширениям. Полугруппа 5 с непустым множеством Es архимедова [ левоархимедова, правоархиме-дова ] тогда и только тогда, когда S есть нильрасши-рение идеально простой полугруппы К [ левой группы, правой группы ]; здесь ТС - ядро и / С / ( е) для любого е е Es. В двух последних ( односторонних) случаях S автоматически будет эпигруппой. В первом же случае S будет эпигруппой тогда и только тогда, когда К вполне проста, и это эквивалентно также тому, что Es есть антицепь. Следующие условия для полугруппы S эквивалентны: ( 1) S - биархимедова полугруппа с идемпотентом; ( 2) S - унипотентная эпигруппа; ( 3) S - нильрасширение группы; ( 4) S разложима в подпрямое произведение группы и ниль-полугруппы. [38]
Свободные вполне простые полугруппы могут быть описаны В терминах рисовских матричных полугрупп; при этом нижеследующая конструкция охватывает и более общий случай - - свободные полугруппы в многообразии Л ( Ж) всех вполне простых полугрупп над фиксированным многообразием групп SS ( Расин В. В. / / Исследования по современной алгебре. SB есть многообразие всех групп, - Clifford A. H. / / J. [39]
Верно, разумеется, и двойственное утверждение. Всякая вполне простая полугруппа является правой [ левой ] связкой ( необходимо изоморфных) правых [ левых ] групп. [40]
Очевидно, что полугруппа, локальное строение которой удовлетворяет условиям пункта б), инверсная. Наоборот, если / есть класс инверсной полугруппы и / Jf. Так как К ( S) - простая полугруппа, из этих условий следует, что К ( S) имеет только один Ж класс и, следовательно, К ( S) есть группа. [41]
Свойство полугруппы S быть вполне простой эквивалентно, кроме соответствующих версий вышеприведенных условий ( 2) - ( 4), каждому из условий: ( 5) 5 есть прямоугольная связка ( необходимо изоморфных друг другу) групп; ( 6) S регулярна и все ее идемпотенты примитивны. В силу ( 5) всякая вполне простая полугруппа клиффордова. Полугруппы, в которых все подполугруппы совпадают со своими идеализаторами, - это в точности периодические вполне простые полугруппы. Идеально ( и, автоматически, вполне) простые полугруппы идемпо-тентов - это в точности прямоугольные полугруппы. [42]
Односторонне простые полугруппы без идемпотентов являют собой один из типичных представителей класса бипростых, но не вполне простых полугрупп. Обе они в некотором смысле минимальны среди бипростых, но не вполне простых полугрупп. Так, для любого идем-потента е идеально простой [ 0-простой ], но не вполне [0-] простой полугруппы 5 существует бициклическая подполугруппа из S, в которой е является единицей. [43]
Для полугрупп, в отличие, скажем, от групп, имеется несколько вариантов определения понятия простоты. Все они объединяются требованием отсутствия собственных идеалов или конгруэнции того или иного фиксированного типа; в зависимости от рассматриваемого типа возникают соответствующие типы простых полугрупп. [44]
Исследуются конгруэнции на И. Выделен целый ряд важных специальных типов И. Простая полугруппа), либо относятся к полурешетке идемпотентов Е, либо являются комбинациями условий обоих типов. Ограничения на Е могут касаться абстрактных свойств Е как полурешетки ( например, Е - цепь специального вида), либо тех или иных относительных свойств Е в полугруппе, в частности поведения Е относительно нек-рых конгруэнции. [45]