Cтраница 2
Положительная полутраектория называется непродолжи-мой, если она не является правильной частью другой положительной полутраектории. Предоставляем читателю показать, что каждая положительная полутраектория либо сама непродолжима, либо является частью непродолжимой полутраектории. [16]
Последнее означает, что окрестность Р точки х не может содержать положительную полутраекторию. [17]
Доказательство теоремы 6.2. Мы хотим показать, что множество тех точек, положительные полутраектории которых остаются в некоторой окрестности нуля, является С - подмно-гообразием. Мы также покажем, что это множество совпадает с множеством тех точек, положительные полутраектории которых сходятся к нулю. [18]
Очевидно, теорема остается в силе, если в ее условии заменить положительную полутраекторию отрицательной. [19]
Аналогично: / ( /, р) - / ( 0 t оо, р) - положительная полутраектория, / ( /, р) - - - f ( - ooit Q, p) - отри нательная полутраектория. [20]
Пусть А - точка на прямой х - - а, в которой VA Afr Проведем через эту точку положительную полутраекторию, идущую направо вверх до лересечения с осью v, где она направлена горизонтально. Без ограничения общности можно предполагать, что эта точка пересечения совпадает с точкой В. [21]
Обозначим теперь через С трансверсальную к X окружность, проходящую через точку р Т - Пусть DcC - подмножество тех точек, положительные полутраектории которых вновь пересекают С. D ставит в соответствие первую точку пересечения положительной траектории точки х с С. По теореме о трубке тока D является открытым множеством в С. [22]
Если решения х ( I), х - ( /) и лг ( г) рассматриваются в пространстве R, то их будем называть соответственно положительной полутраекторией, отрицательной полутраекторией, целой траекторией. [23]
В дальнейшем для решения у - уЦ) ( tu t со) иногда придется рассматривать множество точек L y ( t): t0s t oo t которые будем называть положительной полутраекторией. [24]
Известно, что периодические решения автономной системы, вообще говоря, не являются синхронно устойчивыми даже в том случае, когда соответствующие им фазовые траектории отличаются устойчивым расположением, так что их положительные полутраектории сколь угодно мало уклоняются друг от друга, если начальные точки достаточно близки. [25]
M) и 2сгМ - компактное подмногообразие коразмерности 1, Будем говорить, что 2-глобальное транс-версальное сечение для X, если ( а) X трансверсально к 2, ( Ь) положительная полутраектория поля X, проходящая через любую точку сечения 2, обязательно вновь пересечет его. [26]
Для того чтобы нулевое решение автономной системы ( FA) при Н оо было глобально асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1) R х ( /); 2) все положительные полутраектории системы ограничены. [27]
Если положительная полутраектория лежит в замкнутой ограниченной области, мы скажем, что соответствующее движение положительно устойчиво по Лагранжу; аналогично определяется движение. Наконец, если вся траектория движения лежит в замкнутом ограниченном множестве, мы назовем траекторию ( двусторонне) устойчивой по Лагранжу. [28]
Согласно широко распространенной гипотезе, предельное поведение траекторий типичной динамической системы на компактном многообразии описывается следующим образом. За конечное время каждая положительная полутраектория попадает в окрестность притягивающего множества - аттрактора. Если аттрактор достаточно массивен - - отличен от конечного объединения особых точек и предельных циклов, - то поведение фазовых кривых на аттракторе и вблизи него хаотично. Аналогичная гипотеза имеется для диссипативных систем, фазовое пространство которых - компактное многообразие с краем, а поле системы направлено внутрь на краю. [29]
Мы утверждаем, что положительная полутраектория точки р0 принадлежит U. [30]