Cтраница 3
Более общим образом мы рассматриваем быстро-медленные системы, для которых особая точка уравнения быстрых движений при изменении медленных переменных теряет устойчивость с переходом пары собственных значений через мнимую ось. Для аналитических систем общего положения положительные полутраектории из некоторой области фазового пространства стремятся при е - Я) к фазовым кривым вырожденной системы, имеющим сравнимые по длине участки, один из которых расположен на устойчивой, а другой - на неустойчивой части медленной поверхности. [31]
Положительная полутраектория называется непродолжи-мой, если она не является правильной частью другой положительной полутраектории. Предоставляем читателю показать, что каждая положительная полутраектория либо сама непродолжима, либо является частью непродолжимой полутраектории. [32]
Отметим, что если I является нетривиально рекуррентной траекторией только в положительном направлении, но не является нетривиально рекуррентной в отрицательном, то к / надо добавить ее продолжения по Бендиксону в отрицательном направлении. Так как / С / является нетривиально рекуррентной положительной полутраекторией и / имеет конечное число точек покоя, то конечное число продолжений по Бендиксону приведет к траектории, которая является о-сепаратрисой некоторой точки покоя и нетривиально рекуррентной траекторией в отрицательном направлении. Доказательство в этом случае аналогично рассмотренному, поскольку к предыдущей траектории / фактически добавляется конечное число сепаратрисных связей, образующих вместе с соответствующими точками покоя компактное множество. [33]
Пусть, кроме того, этот вектор направлен наружу по отношению к проекции медленной поверхности на плоскость медленных переменных. U связная компонента пересечения окрестности U с положительной полутраекторией системы ( 2) с началом q при е - 0 стремится к регулярной фазовой кривой вырожденной системы. [34]
С, не существует периодических траекторий или особых точек. Тогда, по теореме Пуанкаре-Бендиксона, должна существовать положительная полутраектория С, начинающаяся в точке, расстояние которой от С меньше 4, такая, что ДС) есть периодическая траектория. С является предельным циклом и теорема доказана. [35]
Примерами инвариантных множеств являются: все фазовое пространство; траектория, определенная для - оо t сю; неподвижная точка; цикл. Положительно инвариантным множеством, в частности, является положительная полутраектория. [36]
Xn) на границе куска, получаем уравнения положительной полутраектории. [37]
Этот тип характеризуется следующим образом. Для двух из них отрицательные полутраектории являются уходящими, а положительные полутраектории примыкают к точке х0, для двух других - наоборот. Первые две сепаратрисы наз. Устойчивые сепаратрисы, будучи дополнены точкой х0, образуют проходящую через а - гладкую кривую - - уст о и ч и в о е м н о г о о б-разие седла. Неустойчивые сепаратрисы вместе с точкой ха образуют гладкое неустойчивое многообразие седла. [38]
Кривая x x ( t), лежащая в Ет, называется интегральной кривой или траекторией дифференциального уравнения (1.48), если x ( t) - решение этого уравнения. Точки интегральной кривой, соответствующие значениям t t0, образуют положительную полутраекторию. [39]
Доказательство теоремы 6.2. Мы хотим показать, что множество тех точек, положительные полутраектории которых остаются в некоторой окрестности нуля, является С - подмно-гообразием. Мы также покажем, что это множество совпадает с множеством тех точек, положительные полутраектории которых сходятся к нулю. [40]
Пусть динамическая система на компактном гладком многообразии с краем диссипативна и т - гладкая мера на этом многообразии с положительной плотностью. Открытое множество и называется существенным, если положительна мера множества тех точек, положительные полутраектории которых проводят в среднем положительное время в области U. Статистическим предельным множеством называется дополнение к максимальному несущественному открытому подмножеству фазового пространства. [41]
Промежуточные моменты времени остаются неотмеченными. Этот ориентированный полигон указывает приблизительное расположение Г - дуги ( или дуги временной длины Г), исходящей из точки ( х, у) положительной полутраектории. [42]
Рассмотрим простую замкнутую кривую, образованную дугой траектории - х х ( t), у-у ( t), ( О t ij и отрезком нормали РРг. Эта кривая ограничивает некоторую область D. При значениях t 1г положительная полутраектория или: а) входит в область Z) или Ь) выходит из нее. [43]
При накрытии каждая точка имеет несколько прообразов, поэтому нельзя говорить об отрицательной траектории точки XQ в обычном смысле слова. При п О получается положительная полутраектория в обычном смысле слова, отрицательных же полутраекторий хп, п 0 у каждой точки х0 имеется континуум. [44]
Пусть некоторая точка статистически предельного множества не принадлежит вероятностно предельному. Возьмем окрестность U этой точки, замыкание которой не пересекается с вероятностно предельным множеством. Эта окрестность существенна; следовательно, существует множество положительной меры, положительная полутраектория любой точки которого проводит в U в среднем положительное время; го-предельное множество каждой такой точки имеет непустое пересечение с областью U, что противоречит выбору этой области. [45]