Cтраница 4
Рассмотрим в качестве вспомогательной функции полную энергию. Bf: q 0, кроме положения равновесия q q Q, не содержит других положительных полутраекторий. [46]
Теорема 3.2 показывает, что предельное множество L ( C) обладает некоторым свойством устойчивости. Определим это точно в случае периодической траектории. Периодическая траектория С называется положительно устойчивой извне ( изнутри), если для каждого е О существует такое д 0, что каждая положительная полутраектория, начинающаяся при t 0 на расстоянии меньше де от С извне ( изнутри) С, определена Для всех t 0 и остается на расстоянии, меньшеме, от С. Периодическая траектория называется положительно устойчивой, если она положительно устойчива извне и изнутри. Определенная здесь устойчивость часто называется устойчивостью траекторий. [47]
Если М j Ф М, то, так как М и М г лежат в одной и той же из областей, на которые Ьг разбивает плоскость, могут быть только два порядка точек на нормали: РМгМ и РММг. В слу - - чае расположения РМгМ точка, движущаяся по кривой L, при возрастании t входит в область G в точке Мг, там остается, так как не может пересечь интегральных кривых и не может пересечь нормаль в обратную сторону. Таким образом, в этом случае вся положительная полутраектория из точки ( х0, у0) не выходит из кольцевой области G и, следовательно, целиком содержится внутри е-окрестности траектории Ll. Если же мы имеем расположение РММ, то отрицательная полутраектория, исходящая из точки ( х0, у0), не может покинуть область G, поэтому отрицательная полутраектория находится в э-окрестно - / ги траектории LL. [48]
Доказательство леммы 2.4. Если у поля X есть замкнутая траектория, то все доказано. Положим С - Х в ( С) и Cz Хе ( С), где 6 0 достаточно малое. Ясно, что Ct и Cg трансверсальны к полю X. Определим Pi C - Cit сопоставив каждой точке первую точку, в которой ее положительная полутраектория пересечет С. Как мы видели, Р корректно определено и сохраняет ориентацию. [49]
На формальном языке максимальные показатели г. и и определяются следующим образом. Если росток (, е) устойчив, то существует поглощающая окрестность U положения равновесия. Если росток v ( - e) неустойчив, то существует такая окрестность U положения равновесия, для которой найдется положительная полутраектория со сколь угодно малым начальным условием. [50]
Раздел 1 был целиком посвящен доказательству асимптотической устойчивости при использовании вспомогательной функции V ( t, А), производная по времени от которой V ( t, x) не является отрицательно определенной, а только меньше или равна нулю. В этом разделе мы приводим теорему В. М. Матросова, относящуюся к общему неавтономному случаю. Основное условие, состоящее в том, что множество М, где V ( t x) - Q, не содержит целых положительных полутраекторий, здесь больше не используется. [51]