Cтраница 1
Тензорные поля n - го ранга ( п2) определяются аналогично, компоненты преобразуются как внешнее произведение n - векторов. Таким образом, скалярные и векторные поля можно рассматривать как тензорные нулевого и первого рангов соответственно. Если ранг не указывается, то обычно имеется в виду тензор второго ранга, особенно в частных приложениях общего формализма. В общем анализе термин тензор может быть употреблен для обозначения тензорного поля любого ранга. [1]
Тензорные поля различных типов определяются подобным образом. При этом компоненты преобразуются как внешнее ( или прямое) произведение компонент векторов. [2]
Кососимметрические ковариантные тензорные поля называются дифференциальными формами. Дифференциальные формы образуют некоммутативную алгебру относительно внешнего умножения. [3]
Xj тензорных полей являются независимыми величинами. В противном случае необходимо применять правила дифференцирования сложных функций. [4]
Примерами тензорных полей второго ранга являются поле напряжений и поле деформаций твердого тела. [5]
Можно рассматривать тензорные поля, определенные и не на всем многообразии Мп, а на линии или поверхности в М; определение порядка гладкости поля сохраняется и в этих случаях. [6]
Необходимость дифференцировать тензорные поля возникает в прикладных задачах. Первым кандидатом на эту операцию является обычное дифференцирование компонент тензоров в криволинейных координатах. Другими словами, будут ли они преобразовываться друг в друга при замене координат по тензорному закону. [7]
Характерными примерами тензорных полей являются поле тензора деформаций и поле тензора напряжений в упругом теле, подвергшемся деформации, так как напряженное и деформированное состояния такого тела в различных его точках ( xlt х2, х3), вообще говоря, различны. [8]
При расчете тензорных полей различают в основном два подхода. При первом подходе исходят из дифференциальных уравнений, описывающих поведение ФХС в локальной бесконечно малой области пространства. Другой подход состоит в формулировке вариационного экспериментального принципа для всей ( глобальной) области, в которой ставится краевая задача. [9]
При сложении тензорных полей складываются соответствующие значения в каждой точке. Складывать тензоры, взятые в разных точках, не имеет смысла, поскольку они преобразуются в различных точках по-разному, и такая сумма не обладала бы необходимыми трансформационными свойствами. Поэтому, чтобы в результате суммирования получить тензор, необходимо складывать тензоры одинакового ранга и вида ( в отношении ковариантности и контравариантности), взятые в одной и той же точке. [10]
Интегралу от других тензорных полей невозможно придать не зависящий от карты смысл. [11]
Сложив два тензорных поля одинакового типа и ранга Т р и Pj jp получаем новое тензорное поле ( проверьте. [12]
В свою очередь тензорные поля трансформируются в каждой точке так же, как в этой же точке преобразуются векторы. [13]
Картаном который использовал кососимметриче-ские тензорные поля ( с нижними индексами) на многообразиях - дифференциальные формы - и оператор d, уже обсуждавшийся выше. Отдельные важные типы 1-форм и 2-форм, их глубокие топологические и алгебро-геометрические свойства и важные применения были изучены и осуществлены еще Пуанкаре в связи с задачами теории автоморфных функций ( и форм), некоторыми свойствами гамильтоновых систем; однако полная систематизация теории была дана, как уже сказано, Картаном. [14]
После этого все трехмерные векторные и тензорные поля проектируются на эти реперы. [15]