Cтраница 3
Оперируя понятиями множества и расширенного множества, можно формально определить совокупность объектов, специфицировав условия принадлежности и задав порядок. Однако такие совокупности не интерпретированы, так как они не соотнесены с объектами реального мира. Необходимо ввести правила придания множествам семантической окраски. В оставшейся части настоящего раздела и в следующем разделе мы проанализируем классические множества, в которых порядок не важен, а дубликаты не имеют смысла. Тем не менее очевидно, что результаты нашего анализа применимы и к расширенным множествам. [31]
Это соответствует понятию внутренне устойчивого множества по Бержу. Подграф, порождаемый независимым множеством, называется пустым. [32]
Наряду с понятием множества как совокупности элементов важным понятием является понятие упорядоченного множества или кортежа. [33]
Наряду с понятием множества основополагающим для всей математики понятием является понятие функции или отображения, которое хотя тоже интдн-тивно ясно п должно быть хорошо знакомо читателю, тем не менее представляется уместным дать IK; опирающееся ня интуицию определение этого фундаментального понятия, основанное лишь па понятии множества. [34]
Наряду с понятием множества часто пользуются понятием подмножества. Например, множество всех четных целых чисел является подмножеством множества всех целых чисел. [35]
Наряду с понятием множества одним из важнейших в математике является понятие функции или отображения. [36]
Если мы рассматриваем понятие множества в строгом смысле - позиция, которую я отстаивал выше, - то утверждение о том, что каждой точке прямой ( после того, как на ней выбрано начало и задан единичный отрезок) соответствует в качестве числовой меры некоторое действительное, число [ множество рациональных чисел, обладающих свойствами а) Ь) и с) ( см. § 6) ], и наоборот, приобретает весьма серьезное содержание. Это утверждение устанавливает замечательную связь между тем, что дано в созерцании пространства, и тем, что конструируется концептуально-логическим способом. Очевидно, что подобное высказывание полностью выпадает из рамок того, чему нас учит или может научить относительно континуума наглядное созерцание, - ведь речь не идет более о некотором морфологическом описании того, что доступно созерцанию ( прежде всего, это не множество дискретных элементов, а некое текучее целое); наоборот, непосредственно данная, по своей природе неточная реальность заменяется substruiert) точными сущностями - путем имеющей фундаментальное значение для всякого точного ( физического) познавания действительности, на котором только и зиждется значение математики для естествознания. [37]
Если так трактовать понятие множества, то ясно, что творческое определение есть не что иное, ьак переход от свойства к множеству, так что возведение новых математических надстроек пут ем установления новых классов идеальных объектов может быть в общем виде охарактеризовано как образование множеств. Теперь уже нет ничего предосудительного в определении круга с центром в О, и проходящего через А, как множества всех точек Р, расстояние которых от О равно ОА; цвета к з кого-ни будь предмета - как множества всех одинаково с ним окрашенных предметов; числа 5 - как множества всех тех совокупностей, которые равночисленны с данной совокупностью пальцев моей правой руки. [38]
Роль, которую понятие множества играет в современной математике, определяется не только тем, что сама теория множеств стала в настоящее время весьма обширной и содержательной дисциплиной, но главным образом тем влиянием, которое теория множеств, возникшая в конце прошлого столетия, оказывала и оказывает на всю математику в целом. Не ставя своей задачей сколько-нибудь полное изложение этой теории, мы здесь лишь введем основные обозначения и приведем первоначальные теоретико-множественные понятия, используемые в дальнейшем. [39]
Отметим, что понятие множества является исходным и мы не определяем его через другие более простые понятия. [40]
Очевидным образом вводится понятие множеств, симметричных относительно окружности. [41]
Роль, которую понятие множества играет в современной математике, определяется не только тем, что сама теория множеств стала в настоящее время весьма обширной и содержательной дисциплиной, но главным образом тем влиянием, которое теория множеств, возникшая в конце прошлого столетия, оказывала и оказывает на всю математику в целом. Не ставя своей задачей сколько-нибудь полное изложение этой теории, мы здесь лишь введем основные обозначения и приведем первоначальные теоретико-множественные понятия, используемые в дальнейшем. [42]
Покажем, как понятие изолированного множества может быть использовано для модификации процесса разрезания. [43]
Вопрос об определении понятия адекватного множества тестовых задач для конкретного типа алгоритмов совсем не прост, хотя некоторые необходимые принципы кажутся очевидными. [44]
Как уже говорилось, понятие множества не связано с какой-либо упорядоченностью его элементов. Такое представление порядка носит достаточно произвольный характер и при нечетко зафиксированных соглашениях может привести к неоднозначности толкования. Проблема еще более усложняется при n - местных кортежах. В этом случае требуется ввести точные предположения относительно способа спецификации вложений. [45]