Понятие - близость
Cтраница 3
Но вспомним, что для воплощения понятий близости, соприкосновения расстояние играет в общем-то вспомогательную роль. А расстояние нужно, чтобы определить окрестности точки. [31]
Конечно, этот пример вульгарен. Но он наглядно поясняет идею очередного обобщения понятия близости, соприкосновения. Она состоит в непосредственном указании тех частей пространства, которые считаются окрестностями своих точек, без всякого использования расстояния. Реализация этой идеи приводит к определению топологического пространства. Аксиомы его совсем просты. Они получаются в результате выделения того минимального набора свойств, которыми должны обладать окрестности в метрическом пространстве, чтобы, во-первых, эти свойства формулировались без привлечения слова расстояние и, во-вторых, осталось в силе максимально возможное количество теорем метрического пространства. Эти аксиомы таковы: любое множество Т есть топологическое пространство, если можно указать семейство его частей, содержащее само Т, пустое множество, объединение любой совокупности своих элементов и пересечение любой конечной совокупности их. Множества этого семейства и являются по определению окрестностями своих точек. [32]
Одним из основных понятий математического анализа является понятие предела. Оно основано на том, что для точек числовой оси определено понятие близости или, точнее, расстояния между точками. [33]
При всем разнообразии этих предметов они обладают нек-рыми общими чертами. Прежде всего они суть множества, для к-рых естественным образом определено понятие близости элементов ( линии и поверхности суть множества точек, семейства суть множества линий и поверхностей; в механике рассматриваются множества состояний механич. Далее, они являются n - мерными топология. [34]
Понятие топологического пространства можно рассматривать как аксиоматизацию понятия близости точки к множеству: точка близка к множеству, если она принадлежит его замыканию. В этой главе мы будем изучать теорию метрических пространств, которая является аксиоматизацией понятия близости точек: в метрическом пространстве каждой паре точек соответствует вещественное число - расстояние между ними, основные свойства которого описывает система аксиом. Расстояние между точками можно использовать для определения расстояния между точкой и множеством; считая все точки, расстояние которых до множества А равно нулю, близкими к множеству А и определяя замыкание множества А как множество всех таких точек, мы получаем топологическое пространство. Топологические пространства, которые могут быть получены таким образом, называются метризуемыми пространствами. [35]
В этом случае говорят, что на множестве задана структура соответствующего пространства. Основным предметом рассмотрений ЕТОЙ главы будут топологические и метрические пространства - множества, для элементов которых определено понятие близости. [36]
Для различных базисов и функций активности элементов базисов здесь разработаны конструктивные методы синтеза схем, позволяющие реализовать произвольную булеву функцию. Оценки активности этих схем близки к нижним оценкам активности булевых п, m - вычислений. Понятие близости каждый раз будет оговорено особо - это может быть точное совпадение, асимптотическое равенство или равенство по порядку величины. [37]
Оператор Ф ищется в некотором классе операторов G, причем оператор учителя Ф может принадлежать или не принадлежать классу G. Будем полагать, что на множестве ( х, Фх существует вероятностная мера и ошибка классификации Д, определенная на этом множестве, является измеримой функцией. Понятие близости Ф0 и Ф определяется в узком и широком смысле. [38]
Полученная тупиковая ДНФ может и не быть минимальной, и поэтому процесс приходится повторять. Для того чтобы сократить перебор, необходимо лри построении очередной тупиковой ДНФ исследовать удаляемые конъюнкции для выяснения их принадлежности к минимальной ДНФ. В [32] вводится понятие близости для конъюнкций, входящих в ДНФ, и понятие локального алгоритма Ah, r с фиксированными параметрами / гиг. Этот алгоритм обследует все конъюнкции, входящие в ДНФ, и на основе просмотра окрестности данной конъюнкции ki радиуса k производят вычисление г наперед заданных предикатов. Затем на основе полученной информации производят упрощение ДНФ. [39]
Из доказанных предложений объявленная в начале параграфа теорема вытекает непосредственно. Мы докажем здесь более сильную теорему 3, утверждающую, что для любого гладкого отображения многообразия Mk в евклидово пространство C2 / t41 существует сколь угодно близкое к нему регулярное и гомеоморфное отображение этого многообразия, а для любого гладкого отображения многообразия М1 в евклидово пространство С2 / с существует сколь угодно близкое к нему регулярное отображение. Для точной формулировки теоремы 3 необходимо ввести понятие близости класса т отображений, учитывающее все производные до порядка т включительно. [40]
 |
Параметрическое задание функций принадлежности. fiA ( U - близкий к элементу l / ц. / / в ( / - близкий к элементу t / B. ftc ( U - близкий к элементу t / r. [41] |
В качестве примера рассмотрим некоторый параметр и, который может изменяться в пределах от минимального значения ид до максимального значения ик. ФП / в ( н) и / с ( и) соответствуют понятиям близости U & U к элементам пв и ис. [42]
В отличие от понятия группы Ли, где требуется, чтобы элементы группы определялись конечной системой параметров и чтобы закон умножения выражался при помощи дифференцируемых функций, понятие топологической группы проще и шире. Именно, группа называется топологической, если для ее элементов, кроме обычной групповой операции, определено понятие близости и при этом из близости элементов группы следует близость их произведений и близость обратных элементов. [43]
Функциональные пространства различаются между собой не только своим содержанием, будучи составлены из разных элементов, но и своей топологической структурой. В них по разному определяется понятие близости и предельного перехода. [44]
Кроме указанных выше задач, имеется еще ряд других. Весьма важен класс задач о влиянии изменения оператора на характер преобразования. В частности, представляет значительный интерес задача о построении системы с устойчивым оператором, достаточно близким к заданному, причем система должна быть наиболее простой или сравнительно простой по своей структуре. Конечно, при этом требуется определение понятий близости оператора и степени сложности структуры в конкретных случаях; последнее далеко не всегда сводится к числу элементарных звеньев, составляющих систему. [45]
Страницы: 1 2 3 4