Cтраница 3
Любые обобщения теории симметрии сохраняют ее основные групповые постулаты; они идут по пути замены понятия равенства более широким понятием эквивалентности, по пути конкретных реализаций абстрактных групп, замены известных групп их изоморфными или гомоморфными представлениями или расширениями, по пути поисков новых автоморфизмов. Характеризуя научное значение таких поисков, достаточно сказать, что само обнаружение новых отношений эквивалентности и новых автоморфизмов у известных объектов уже означает проникновение на более глубокий структурный уровень исследования. [31]
Необходимость рассматривать в физике движения и различные положения твердых тел, естественно, оправдывает введение понятий равенства и движения. С этой точки зрения антидвижения значительно менее важны. [32]
Все предшествующие рассуждения не выходили за рамки так называемой метрической геометрии, в основе которой лежит понятие равенства. [33]
Комплексными числами называют пары ( ж, 2 /) вещественных ( действительных) чисел хит /, для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения. [34]
Мы называем прямыми пространства ( Е) множества точек, имеющих образами большие окружности из множества ( S), то есть следы на ( S) плоскостей, проходящих через центр О, сохраняя на этих прямых известную метрику сферы ( S), равно как и понятие равенства фигур на сфере. [35]
Применительно к системам класса 3 ( 2 - 2) 1, а также ряду других систем, рх и у - величины разных размерностей ( они отнесены к движущим силам, базирующимся на разных инер-тах); для систем с формально одинаковыми размерностями [ типа 2 ( 2 - 2) 2, например ] формула ( а) тоже неправомерна из-за несовпадения понятий равенства и равновесия концентраций: при равенстве концентраций нет равенства химических потенциалов компонента в разных фазах. [36]
Рассмотрим теперь вопрос о том, какие совокупности преобразований могут быть использованы для определения равенства фигур в некоторой клейновской геометрии. Всякое понятие равенства должно удовлетворять трем аксиомам. [37]
А, меньше соответствующих элементов другой матрицы, В, в нашем контексте не представляет интереса, поэтому мы не будем вводить для матриц отношения больше и меньше. Напротив, понятие равенства для матриц должно быть определено. Две матрицы считаются равными, если выполняются два условия: у них должен совпадать как тип, так и соответствующие элементы. [38]
Из сделанных выше замечаний ясно, что употребительный метод использования кривых безразличия не в силах преодолеть эти трудности. Он просто расширяет понятие равенства ( см. первое замечание выше), но он не дает никаких полезных указаний, и тем более никаких конкретных предписаний, как трактовать ситуации, в которых участвуют вероятности, неизбежно связанные с ожидаемыми полезностями. [39]
Понятие равенства отрезков в элементарной геометрии принимается аксиоматически, без доказательств. В дальнейшем в понятие равенства включается и направленность отрезков. [40]
Заметим, что понятие равенства векторов существенно отличается от понятия равенства, например, чисел. [41]
В приложениях к геометрии обычно пользуются величинами ориентированных углов, лежащих на ориентированной плоскости, а также понятиями величины угла от одной оси до другой ( или от одной прямой до другой), лежащими на ориентированной плоскости. При этом пользуются лишь понятиями равенства, суммы и разности. Каждое из этих понятий должно быть определено, поскольку величины, над которыми устанавливаются эти понятия, имеют бесконечное множество значений. [42]
Энгельс давно разъяснил в Анти-Дюринге, что понятие равенства, будучи слепком с отношений товарного производства, превращается в предрассудок, если не понимать равенства в смысле уничтожения классовш. Эту азбучную истину об отличии буржуазно-демократического и социалистического понятия равенства постоянно забывают. [43]
Рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности. Отношение эквивалентности в некотором смысле обобщает понятие равенства. [44]
Хотя постулат, сформулированный в предыдущем абзаце, на первый взгляд представляется допущением, которого нельзя доказать непосредственно, все же можно показать, что он находится в согласии с выводами, вытекающими из теоремы Лиувилля. Несложные рассуждения приводят к тому, что понятие равенства априорных вероятностей для различных областей у-пространства совместимо с двумя принципами: принципом постоянства плотности и принципом постоянства объема фазовой жидкости. В соответствии с первым из этих принципов, плотность в данной точке остается неизменной при движении этой точки в фазовом пространстве. Таким образом, у фазовых точек отсутствует тенденция к накапливанию в какой-либо определенной области пространства. Принцип постоянства фазового объема означает, что когда определен объем ( или протяженность) фазового пространства, содержащий некоторое определенное число фазовых точек, то этот объем не изменяется с течением времени, хотя форма его и может измениться значительно. [45]