Cтраница 4
При формулировке следующих двух аксиом равенства используется понятие угла. Углы находятся в определенном отношении, для обозначения которого используется понятие равенства. [46]
Перед тем, как уточнить понятие теории первого порядка по всем правилам, к которым мы пытаемся приучить читателя, предварительно скажем еще несколько слов. В большинстве теорий, которые могут быть аксиоматизированы как теории первого порядка, используется понятие равенства. Мы покажем сейчас, каким образом теория равенства присоединяется к чистому исчислению предикатов. Согласно интуитивному пониманию, соотношение х у означает, что х и у-это один и тот же предмет или что ш и у суть имена одного и того же предмета. Оказывается, свойства симметричности и транзитивности равенства можно вывести из подстановочного свойства и рефлексивности. Мы установим это, представив в виде аксиоматической теории исчисление предикатов первого порядка с равенством. [47]
В соответствии со сказанным определяется понятие равенства для алфавитных операторов и алгоритмов. Два алфавитных оператора считаются равными, если они имеют одну и ту же область определения и сопоставляют любому наперед заданному входному слову из этой области одинаковые выходные слова. Понятие равенства для алгоритмов включает условия равенства для соответствующих им операторов, но предусматривает также совпадение систем правил, задающих действие этих алгоритмов на входные слова. Алгоритмы, у которых совпадают только определяемые ими алфавитные отображения ( операторы), но, вообще говоря, не способы задания, будем называть эквивалентными алгоритмами. [48]