Cтраница 3
Подобно тому как в теории функциональных рядов ( глава 19) основную роль играло, как мы видели, понятие равномерной сходимости такого ряда, так и для интегралов вида ( 1) аналогичное понятие приобретает фундаментальное значение. [31]
Для работы с этими траекториями, которые могут быть определены на разных интервалах времени, нам понадобится небольшая модификация понятия равномерной сходимости, причем для этого модифицированного понятия мы сохраним то же название. [32]
В этом случае предполагается, что С ( [ а Ь ]) рассматривается как банахово пространство с обычной нормой, порождающей понятие равномерной сходимости последовательностей функций. [33]
Впрочем, концепции Коши в последующие десятилетия потребовали все же еще отдельных уточнений и даже исправлений; так, например, у Коши отсутствует понятие равномерной сходимости ряда; в его курсе доказывается ( неверная, как мы знаем) теорема о том, что сумма сходящегося ряда функций, непрерывных в некотором отрезке, всегда также непрерывна в этом отрезке. Сама идея предела, в принципе оставшаяся неизменной до наших дней, потребовала все же в дальнейшем тех более четких формулировок, которые были нами указаны в § § 14, 15 и затем использованы на всем протяжении нашей книги. [34]
В силу того, что почти все члены последовательности верхних граней (35.9) для равномерно сходящихся последовательностей функций конечны, критерий (35.10) по существу сводит понятие равномерной сходимости функциональной последовательности к понятию сходимости числовой последовательности. [35]
Если члены ряда не являются постоянными, а зависят от комплексной переменной z - x - - iy, стало быть, зависят от точки ( х, у пробегающей некоторую замкнутую область О, то уместно введение понятия равномерной сходимости. [36]
Так, понятие равномерной сходимости дает возможность сформулировать условия, когда при предельном переходе сохраняется непрерывность: напр. [37]
Однако эта сходимость не является равномерной. Читателю, не знакомому с понятием равномерной сходимости, можно рекомендовать подробно разобрать приведенный пример, чтобы увидеть различие между равномерной и поточечной сходимостью. [38]
Итак, мы видим, что сходимость функционального ряда в отрезке может быть и неравномерной. Это значит, что введенное нами понятие равномерной сходимости ряда существенно сужает прежнее, построенное на локальной базе понятие сходимости ряда в отрезке. В ближайших параграфах мы рассмотрим ряд важных общих задач, для решения которых понятие равномерной сходимости имеет, как мы убедимся, фундаментальное значение. [39]
Чтобы распространить доказанное предложение на функции мероморфные в окрестности бесконечно-удаленной существенно-особой точки, потребовалось прежде всего обобщить понятие нормальности, применив его к семействам функций мероморфных в области. Это определение переносится без изменения на семейства функций мероморфных в области путем соответствующего введения понятия равномерной сходимости последовательности мероморфных функций. [40]
При распространении изложенной теории интегралов, зависящих от параметра, на случай несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости интегралов, которое мы предварительно и выясним. [41]
Несобственный абсолютно-сходящийся интеграл приводится, как мы видели выше, к интегралам от неотрицательных функций / ( Л1) и [ / ( Ж) - / ( Ж) ], а для таких интегралов неважно, каким образом ( Д) стягивается к точке С или ( oj) расширяется. Всегда можно считать, что ( Д) есть круг или сфера ( Др) с центром С, радиус которой р стремится к нулю, и что ( aj) есть часть ( о), содержащаяся в некотором круге ( Кк) с центром в начале, радиус которого беспредельно растет. Пользуясь этим замечанием, нетрудно определить понятие равномерной сходимости несобственного кратного интеграла, зависящего от параметра. [42]
Несобственный абсолютно сходящийся интеграл приводится, как мы видели выше, к интегралам от неотрицательных функций / ( УИ) и [ / ( Л1) [ - / ( Щ а для таких интегралов неважно, каким образом ( Д) стягивается к точке С или ( uj) расширяется. Всегда можно считать что ( Д) есть круг или сфера ( Др) с центром С, радиус которой р стремится к нулю, и что ( at) есть часть ( а), содержащаяся в некотором круге ( KR) с центром в начале, радиус которого беспредельно растет. Пользуясь этим замечанием, нетрудно определить понятие равномерной сходимости несобственного кратного интеграла, зависящего от параметра. [43]
Несобственный абсолютно сходящийся интеграл приводится, как мы видели выше, к интегралам от неотрицательных функций / ( / И) и [ / ( M) j - f ( M) ], а для таких интегралов неважно, каким образом ( Д) стягивается к точке С или ( с) расширяется. Всегда можно считать что ( А) есть круг или сфера ( Др) с центром С, радиус которой ь стремится к нулю, и что ( ot) есть часть ( з), содержащаяся в некотором круге ( Кк) с центром в начале, радиус которого беспредельно растет. Пользуясь этим замечанием, нетрудно определить понятие равномерной сходимости несобственного кратного интеграла, зависящего от параметра. [44]
Несобственный абсолютно сходящийся интеграл приводится, как мы видели выше, к интегралам от неотрицательных функций / ( / И) и [ / ( Ж) - / ( Ж) ], а для таких интегралов неважно, каким образом ( Д) стягивается к точке С или ( ах) расширяется. Всегда можно считать что ( Д) есть круг или сфера ( Др) с центром С, радиус которой р стремится к нулю, и что ( аг) есть часть ( а), содержащаяся в некотором круге ( KR) с центром в начале, радиус которого беспредельно растет. Пользуясь этим замечанием, нетрудно определить понятие равномерной сходимости несобственного кратного интеграла, зависящего от параметра. [45]