Cтраница 2
Во введении будет показано, какие математические трудности возникают при рассмотрении простой физической задачи и как эти трудности можно преодолеть, если ввести понятие обобщенной функции. Будет дан краткий очерк теории обобщенных функций и сравнение основных идей различных подходов к ней. [16]
Классическое дифференциальное исчисление имеет дело с непрерывными функциями. Введение понятия обобщенных функций и обобщенных производных дало возможность дифференцировать более широкие классы функций, в том числе разрывные. [17]
Ряд такого рода затруднений был разрешен введением обобщенных функций. Заметим, что понятие обобщенной функции было вшвапо не стремлением к обобщениям, а конкретными задачами. [18]
Для понимания дальнейшего текста необходимо знакомство с основами ( или, лучше сказать, с элементами) функционального анализа. Предполагается, что читателю известно понятие обобщенной функции. [19]
Поскольку условия ( gj), ( g2) и ( е3) выполнены, множество всех фундаментальных последовательностей / ( х) ( определенных на интервале А; х; 5) разбивается на классы эквивалентности, попарно не имеющие общих элементов, такие, что две фундаментальные последовательности принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Таким образом, отождествляя эквивалентные фундаментальные последовательности, мы приходим к понятию обобщенной функции. [20]
Поскольку отношение - рефлексивно, симметрично и транзитивпо, множество всех фундаментальных на О последовательностей разбивается на непересекающиеся классы ( классы эквивалентности отношения -), такие, что две фундаментальные последовательности лежат в одном классе в том и только в том случае, когда они эквивалентны. Таким образом, понятие обобщенной функции получается путем отождествления эквивалентных фундаментальных последовательностей. [21]
Дано доказательство теоремы существования решения неоднородной краевой задачи. Более подробно разбирается понятие обобщенной функции Грина. Внесены некоторые изменения и в характер изложения задач на собственные значения. [22]
При этом свойства обобщенных функций некоторым, образом отражаются на соответствующих свойствах матриц. Например, если мы надлежащим образом продифференцируем обобщенную функцию, то элементы соответствующей матрицы при этом умножатся на некоторые коэффициенты. При этом элементы матриц можно записать в виде обычных последовательностей, и это еще более упростит теорию; кроме того, ясно, что понятие числовой последовательности гораздо проще понятия обобщенной функции. [23]
В возрасте 17 лет он поступил в Тринити Колледж в Дублине, где изучал французский, немецкий, испанский и итальянский языки. Математику, скорее всего, освоил самостоятельно и всегда считал, что современные методы математики может постичь каждый. Его работы были насыщены математическими понятиями и формулами, уровень которых был выше понимания тех, кто занимался в то время этическими проблемами. Первая публикация - Новые и старые методы этики относится к 1877 г., а в 1881 г. он опубликовал работу Математическая физика: приложения математики в этике. Эта работа, экономическая по своей сути, изобиловала математическими формулами и выглядела как исчисление экономики. В этой же работе были представлены его оригинальные идеи, основанные на понятии обобщенной функции полезности. К 1885 г. относится его работа Методы статистики, где были представлены приложения и интерпретация тестов для сравнения средних величин. [24]