Cтраница 1
Понятие обобщенных функций возникло в связи с рядом задач математики и физики, когда обычных функций оказалось недостаточно для описания наблюдаемых явлений. [1]
Понятие обобщенной функции является распространением понятия обычной функции. [2]
Другая аналогия понятию обобщенной функции, более близкая теме книги, - понятие измеримой функции. Вообще, основной интерес для теории интеграла представляют интегрируемые функции или ( по терминологии авторов) суммируемые функции. Но чтобы доказать суммируемость некоторой функции, часто приходится функцию подвергать разным преобразованиям. Следить за тем, сохраняют ли эти преобразования интегрируемость, иной раз бывает довольно трудно. Проверка того, что измеримость функции сохраняется, как правило, тривиальна. Вопрос об интегрируемости функции решается в самом конце преобразований. [3]
Таким образом, понятие обобщенной функции позволяет приписать некоторый вполне определенный смысл сумме ряда, который в обычном смысле расходится. То же самое относится и ко многим расходящимся интегралам. С этим обстоятельством приходится часто встречаться в квантовой теории поля и ряде других областей теоретической физики. Впрочем, такая ситуация возникает уже при решении элементарных задач математической физики с помощью метода Фурье. [4]
В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. [5]
Таким образом, понятие обобщенной функции позволяет приписать некоторый вполне определенный смысл сумме ряда, который в обычном смысле расходится. То же самое относится и ко многим расходящимся интегралам. С этим обстоятельством приходится часто встречаться в квантовой теории поля и ряде других областей теоретической физики. Впрочем, такая ситуация возникает уже при решении элементарных задач математической физики с помощью метода Фурье. [6]
Таким образом, понятие производной обобщенной функции является расширением понятия производной для непрерывно дифференцируемых функций. [7]
Как мы видели, понятие обобщенной функции не сводится к понятию функции точки и поэтому говорить о значении обобщенной функции в данной точке, в частности об обращении ее в ноль в этой точке, вообще говоря, не имеет смысла. [8]
Отметим еще, что аналогично тому как в математическом анализе вводится понятие обобщенной функции, о котором говорилось в примечании 2, может быть введено также и понятие обобщенного случайного процесса, для которого не обязано существовать значение в точке X ( /), но тем не менее для широкого класса линейных измерительных приборов ( характеризуемых своими весовыми функциями h ( t) - см. § 13 этой книги) может быть определен результат измерения значений процесса X с помощью данного прибора, представляющий собой случайную величину X ( / i), линейно зависящую от весовой функции h ( t) ( см. [ 51, гл. [9]
Это является одним из весьма существенных обстоятельств, оправдывающих целесообразность введения понятия обобщенных функций. [10]
Это является одним из весьма существенных обстоятельств, оправдывающих целесообразность введения понятия обобщенных функций. [11]
В этом параграфе мы рассмотрим одно обобщение классического понятия функции, а именно понятие обобщенной функции. Это понятие возникло при решении некоторых физических задач и в последние годы прочно и быстро вошло в математику. С помощью этого понятия можно распространить преобразование Фурье на существенно более широкий класс функций, чем абсолютно интегрируемые или интегрируемые в квадрате функции. [12]
В этом параграфе мы рассмотрим одно обобщение классического понятия функции, а именно понятие обобщенной функции. Оно возникло при решении некоторых физических задач и в последние годы быстро и прочно вошло в математику. [13]
Точное определение обобщенного решения опирается на понятие обобщенной производной и, как следствие, на понятие обобщенной функции. Аппарат теории обобщенных функций является удобным средством для исследования линейных краевых задач в обобщенной и классической постановках. Поэтому специальная глава книги посвящена изложению теории обобщенных функций. [14]
Например, дельта-функцию Дирака нельзя отождествить ни с какой непрерывной функцией; это будет доказано в § 2.4. Следовательно, понятие обобщенной функции существенно расширяет понятие непрерывной функции. Далее мы покажем, что это расширение включает также широкий класс разрывных функций. [15]