Последовательность - бифуркация
Cтраница 3
Из рисунка видно, что переход к хаосу в этой системе происходит путем последовательности бифуркаций удвоения периода. Подобный переход наблюдался экспериментально в [387] для С02 - лазера и в [357, 544] для твердотельного лазера на гранате с неодимом. [31]
Условие ( 113) соответствует стационарному режиму макропластичес-кого течения. При достижении управляющим параметром A ( k, а) соответствующих критических значений система претерпевает последовательность бифуркаций. Так, при А Acl ( см. рис. 75) каждому значению А ( характеризующему условия нагружения и особенности субструктуры) соответствует единственное значение равновесной плотности дислокаций Ne. При А Ас функция Ne неоднозначна. [32]
В окрестности каждой точки поворота на узком интервале изменения г существует устойчивое периодическое решение. Кроме того, на основной ветви на рис. 5.26 а при г - 350 имеется последовательность бифуркаций удвоения периода. [33]
Пригожий представлял эволюцию открытых систем в виде бифуркационных диаграмм, отражающих переходы устойчивость-неустойчивость-устойчивость, обусловленные нарушением устойчивости симметрии системы, что позволяет представить эволюцию системы при изменяющихся внешних условиях в виде последовательности бифуркаций взаимосвязанных между собой информационным полем, т.к. в открытых системах энтропия выступает в роли как управления, так и информации. [34]
 |
Бифуркационная диаграмма квадратичного отображения. [35] |
Число 5 называется универсальной постоянной Фейгенбаума. Эта постоянная не зависит ни от выбора отображения, ни от его размерности. Другими словами, последовательность бифуркаций удвоения является универсальной. [36]
С последующим изменением параметра д в фазовом пространстве многомерной динамической системы может произойти потеря устойчивости двумерного инвариантного тора и рождение трехмерного тороидального многообразия. При этом поведение системы характеризуется тремя независимыми частотами. Дальнейшее изменение управляющего параметра может привести к последовательности бифуркаций, в результате которых в фазовом пространстве диссипативных динамических систем возникают инвариантные торы все возрастающей размерности. В конечном счете мы приходим к сложному квазипериодическому движению с k несоизмеримыми частотами, которое при очень большом k будет выглядеть как хаотическое. Считая, что такой путь развития хаоса действительно возможен, Ландау [74, 75] и независимо Хопф [209, 210] выдвинули гипотезу, согласно которой хаотическая динамика диссипативных систем есть не что иное, как движение по инвариантному тору большой размерности. [37]
 |
Схема КБВ-генератора с внешней обратной связью. 1 - цепь внешней обратной связи. 2 - коллектор. 3 - вывод ВЧ-мощности. 4 - электронный поток. 5 - волноводы. [38] |
Переход к хаосу происходит через каскад бифуркаций удвоения периода. Таким образом, можно было бы ожидать, что при увеличении параметра 7 B КБВ-генераторе должна наблюдаться последовательность бифуркаций удвоения периода, завершающаяся установлением режимов хаотической генерации. Однако численное моделирование уравнений КБВ-генератора с запаздывающей обратной связью показало, что простейшая модель (9.69) описывает в общих чертах лишь установление режимов с неизменной амплитудой. В случае автомодуляционных и хаотических колебаний эта модель становится неверной, так что вопрос о возможности появления хаотических режимов в КБВ-генераторе остается открытым. [39]
История любого вида животных может показаться случайной, зависящей от других видов и флуктуации окружающей среды. Тем не менее трудно отделаться от впечатления, что общая структура тропического леса, на-лример все многообразие встречающихся в нем видов животных и растений, соответствует некоторому архетипу порядка. Какой бы конкретный смысл мы ни вкладывали в термины порядок и хаос, ясно, что в некоторых случаях последовательность бифуркаций приводит к необратимой эволюции и детерминированность характеристических частот порождает все большую случайность, обусловленную огромным числом частот, участвующих в процессе. [40]
Эволюция свойств странного аттрактора при К Лоо сопровождается соответствующими изменениями в частотном спектре интенсивности. Хаотичность движения выражается в спектре появлением в нем шумовой компоненты, интенсивность которой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне присутствуют дискретные иикн, отвечающие основной частоте неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам; при последовательных обратных бифуркациях исчезают соответствующие субгармоники - в порядке, обратном тому, в котором они появлялись в последовательности прямых бифуркаций. Неустойчивость создающих эти частоты циклов проявляется в уширении спектральных пиков. [41]
Эволюция свойств странного аттрактора при А, Ас сопровождается соответствующими изменениями в частотиом спектре интенсивности. Хаотичность движения выражается в спектре появлением в нем шумовой компоненты, интенсивность которой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне присутствуют дискретные пики, отвечающие основной частоте неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам; при последовательных обратных бифуркациях исчезают соответствующие субгармоники - в порядке, обратном тому, в котором они появлялись в последовательности прямых бифуркаций. Неустойчивость создающих эти частоты циклов проявляется в уши рении спектральных пиков. [42]
Эволюция свойств странного аттрактора при К Лоо сопровождается соответствующими изменениями в частотном спектре интенсивности. Хаотичность движения выражается в спектре появлением в нем шумовой компоненты, интенсивность которой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне присутствуют дискретные пики, отвечающие основной частоте неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам; при последовательных обратных бифуркациях исчезают соответствующие субгармоники - в порядке, обратном тому, в котором они появлялись в последовательности прямых бифуркаций. Неустойчивость создающих эти частоты циклов проявляется в уширеиии спектральных пиков. [43]
 |
График зависимости х от у, соответствующий формуле. [44] |
При включении внешнего поля выходная интенсивность начинает регулярно осциллировать с частотой со-со, где со0 - частота падающего поля. Средняя интенсивность на выходе изменяется непрерывно, так что поведение системы представляет собой прямое продолжение той устойчивой генерации, которая имелась в отсутствие внешнего сигнала. Лазерное излучение представляет собой ряд всплесков, в которых резкий максимум сопровождается быстрыми нерегулярными осцилляциями. Дальнейшее нарастание величины А выводит систему из области хаоса через последовательность бифуркаций с удвоением периода. При этом система входит в новый режим. [45]
Страницы: 1 2 3 4