Последовательность - бифуркация
Cтраница 4
Стационарные и автоколебательные конвективные движения в полости эллипсоидальной формы ( в том числе вращающейся) подробно исследовались в работах Ф.В. Должанского с сотрудниками. В [127] показано, что конвекция идеальной жидкости в эллипсоиде с пространственно-линейными полями скорости и температуры описывается шестимодовои системой уравнений движения тяжелого волчка. Предложенная модель описывает до 13 различных стационарных режимов, обменивающихся устойчивостью при изменении числа Рэлея. Хаотический режим существует на интервалах значений числа Рэлея, ограниченных сверху и снизу последовательностями бифуркаций типа удвоения периода. [46]
Во многих случаях довольно трудно провести четкую границу между такими понятиями, как хаос и порядок. К каким системам следует отнести, например, тропический лес: к упорядоченным или хаотическим. История любого вида животных может показаться случайной, зависящей от других видов и флуктуации окружающей среды. Тем не менее трудно отделаться от впечатления, что общая структура тропического леса, например, все многообразие встречающихся в нем видов животных и растений, соответствует некоторому архетипу порядка. Какой бы конкретный смысл мы ни вкладывали в термины порядок и хаос, ясно, что в некоторых случаях последовательность бифуркаций приводит к необратимой эволюции и детерминированность характеристических частот порождает все большую случайность, обусловленную огромным числом частот, участвующих в процессе. [47]
При увеличении А минимум функции / 2 понижается и производная в точках &i, &2 возрастает. После достижения значения А2 1 / 6 - 3 45 наклон кривой / 2 в точках &i и &2 достигает единицы. При дальнейшем увеличении А обе неподвижные точки становятся неустойчивыми. Снова увеличиваем А до А3 3 54, когда каждая точка расщепляется на две и возникает устойчивый 23-цикл. Последовательность бифуркаций удвоения периода кончается при конечном значении А Ас, Ас 3 5699, причем период цикла стремится к бесконечности, а поведение системы становится апериодическим. [48]
Примеров бифуркационного поведения дислокационного ансамбля можно привести немало. Сюда относится образование полос скольжения, полос сброса и пр. Важным примером перестроек, происходящих в дефектной структуре по типу неравновесного фазового перехода, является образование и распространение по образцу полосы Чернова - Людерса. Движение такой полосы дает пример перерастания процесса, запущенного на мезоскопическом уровне, на макроуровень. Точно также макроскопическое явление бегающей шейки [12] есть не что иное, как последовательность бифуркаций локализованной деформации образца. [49]
 |
Изображение гармонических колебаний на плоскости.| Бифуркационная диаграмма линейного осциллятора с трением. [50] |
Хотя энергетические соображения наглядны и физичны для определения порога неустойчивости, они не раскрывают механизм качественной перестройки траекторий ( перестройку топологии) вблизи положения равновесия при бифуркациях. Как правило, динамическая система при включении внешнего источника энергии находится в достаточно устойчивом положении равновесия. Пусть для определенности она находится в точке А. Плавно изменяя внешние параметры, переведем ее из точки А в точку В. На первом пути устойчивый узел ( область, обозначенная на рисунке цифрой 1) превращается в устойчивый фокус, далее устойчивый фокус переходит в неустойчивый фокус ( переход из области 2 в область 3), и наконец, неустойчивый фокус переходит в неустойчивый узел. На втором пути устойчивый узел попадает в область седел ( 5, 6) н уже из области седел в область неустойчивого узла. Если для анализа неустойчивости в линейном приближении, вообще говоря, выбор пути не существен, то для анализа развития неустойчивости в нелинейной динамической системе, линеаризованная модель которой имеет вид типа (1.19), путь ( последовательность бифуркаций) может оказаться решающим. [51]
Страницы: 1 2 3 4