Cтраница 1
Последовательность непрерывных функций xn ( t) 1 - t не возрастает, а уп ( t) 1 - t не убывает на отрезке [ О, 1 ], обе ограничены соответственно снизу функцией х ( t) s 0 и сверху функцией х ( t) 1, однако эти последовательности в пространстве С не имеют предела. [1]
Если последовательность непрерывных функций сходится почти равномерно, то она сходится и в обобщенном смысле и при этом к тому же пределу. [2]
Если последовательность непрерывных функций fn сходится к f почти равномерно на О, то последовательность сверток fn бп также сходится к / почти равномерно на О. [3]
Если последовательность непрерывных функций / ( х) Сходится почти равномерно к функции f ( х), то она сходится к / ( х) U в обобщенном смысле. [4]
Построить пример последовательности непрерывных функций, сходящейся к некоторой непрерывной функции в среднем на отрезке в смысле Lz, но не сходящейся равномерно на этом отрезке. [5]
Равномерный предел последовательности непрерывных функций на топологическом пространстве X является непрерывной функцией. [6]
При таком определении последовательность непрерывных функций может сходиться к разрывной функции, из сходимости последовательности интегрируемых функций не следует С. Свойство непрерывности функций и возможность перехода к пределу под знаком интеграла сохраняются при равномерной сходимости. [7]
Легко видеть, что если последовательность непрерывных функций сходится к пределу по расстоянию в С, то она сходится к тому же пределу и в CL. Обратное неверно, как показано выше. [8]
Если в замкнутой области О последовательность непрерывных функций fn ( x, у) сходится к непрерывной предельной функции f ( x, у) и если во всех точках области fn l ( x, y) fn ( x, у) либо во всех точках области fn i ( x, y) s fn ( x, у), то сходимость равномерна в области О. [9]
Метризуемость компакта К равносильна существованию последовательности непрерывных функций, разделяющих точки К. Компактное множество К в локально выпуклом пространстве X метризуемо в точности тогда, когда существует последовательность 1п С X, разделяющая точки К. [10]
Таким образом, поточечный предел последовательности непрерывных функций уже может быть функцией разрывной. Желательно ввести такое пространство функций, чтобы предел любой последовательности функций этого пространства также ему принадлежал. [11]
Бэра, т.е. является пределом некоторой последовательности непрерывных функций. Отсюда вытекает, в частности, что Z измерима. [12]
В примере 4 § 33 построена последовательность непрерывных функций / Сп ( t, s) такая, что интегральные операторы Ап с ядрами К. Операторы Ап компактны в силу следствия теоремы 1 и, значит, компактен оператор А как предел последовательности компактных операторов. [13]
Из сходимости вещественных функциональных последовательностей известно, что последовательность непрерывных функций может сходиться к разрывной функции. А так как сходимость ряда есть сходимость последовательности частных сумм этого ряда, то аналогичное утверждение справедливо и для рядов. Поясним это на примере. [14]
Рисса из § 3, мы приходим к последовательности непрерывных функций фп. [15]