Cтраница 3
Доказать, что множество всевозможных равномерно сходящихся на [ я, 6 ] последовательностей непрерывных функций имеет мощность континуума. [31]
Пусть бп ( х) есть - последовательность и / ( х) - последовательность непрерывных функций, сходящихся к / ( х) почти равномерно на О; тогда последовательность гладких функций fn ( х) б ( х) сходится к / ( х) почти равномерно на О. [32]
Интересно получить условия, выражающиеся в терминах свойств только самой функции f ( без привлечения последовательностей непрерывных функций (57.33)), влекущие за собой принадлежность функции / пространству Lz [ a, b ] в вышеуказанном смысле. [33]
Так как непрерывные функции измеримы ( п 82), то пределы и границы неопределенности последовательностей непрерывных функций также измеримы. [34]
Здесь К - константа, превышающая FN для всех N ч х, существующая, потому что последовательность непрерывных функций FN сходится равномерно. [35]
Для всякой измеримой и почти везде конечной функции / ( X), заданной на сегменте [ at b ] t существует последовательность непрерывных функций, сходящаяся к f ( x) почти везде. [36]
В силу сказанного выше достаточно доказать, что всякая простая функция, принимающая конечное число значений, является пределом, в смысле сходимости в среднем, последовательности непрерывных функций. Далее, так как всякая простая функция, принимающая конечное число значений, есть линейная комбинация индикаторов % м ( х) измеримых множеств, то достаточно провести доказательство для этих последних. [37]
Имеет место более сильное утверждение: полунепрерывная сверху ( снизу) функция, не принимающая значение оо ( - оо), есть предел монотонно невозрастающей ( неубывающей) последовательности непрерывных функций. [38]
Функция Дирихле из [ О, 1 J в [ О, 1 ] нерегуляризируема на [ О, 1 ] по теореме 1.4, так как в теории функций действительного переменного доказывается, что она не является поточечным пределом последовательности непрерывных функций. [39]
Теперь мы можем, наконец, перейти к доказательству теоремы 2.11.1. В силу хорошо известной теоремы Лузина1, любая измеримая и почти всюду конечная функция / ( я) является, за исключением, может быть, нуль-множества, пределом последовательности непрерывных функций. С другой стороны, в силу классической теоремы Вейерштрасса, эти непрерывные функции являются пределом равномерно сходящейся последовательности полино мов с рациональными коэффициентами. [40]
Показать, что оператор Т действует также в пространстве С всех непрерывных функций на [ О, 1 ] ( с sup - нормой) и компактен в этом пространстве. Указание: если последовательность непрерывных функций / - равномерно ограничена, то последовательность Tf равностепенно непрерывна. [41]
VIII, § 4), что если последовательность непрерывных функций fn ( x) сходится равномерно, то и предельная функция f ( x) также непрерывна. [42]
Однако уже со 2 - й пол. Основной причиной этого является то, что предел последовательности непрерывных функций может быть разрывным. Иными словами, класс непрерывных функций оказывается незамкнутым относительно важнейшей операции анализа - предельного перехода. В связи с этим функции, определяемые при помощи таких классич. [43]
Здесь все дело заключается в том, что интегралы системы уравнений (37.6) при [ А - 0 стремятся к своим пределам неравномерно. Но, как известно, при неравномерной сходимости пределом последовательности непрерывных функций может оказаться разрывная функ - Ция. [44]
Здесь все дело заключается в том, что интегралы системы уравнений (37.6) при jj - 0 стремятся к своим пределам неравномерно. Но, как известно, при неравномерной сходимости пределом последовательности непрерывных функций может оказаться разрывная функ - Ция. [45]